Nos problemas a seguir, classifique a equação como separável, linear, exata ou nenhuma delas. Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação.
(x^2 y+x^4 cos x) d x-x^3 d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x^2y + x^4cos xr),dx - x^3,dy = 0
e pede para classificá-la como separável, linear, exata ou nenhuma delas.

Passo 2

Colocamos na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde
M(x,y) = x^2y + x^4cos x, N(x,y) = -,x^3

Passo 3

Testamos exatidão verificando
partial Mpartial y = x^2, partial Npartial x = -3x^2
Como x^2neq -3x^2, a equação não é exata.

Passo 4

Testamos separabilidade escrevendo
dydx = M(x,y)-,N(x,y) = x^2y + x^4cos xx^3 = yx + xcos x
Não é possível escrever isso como f(x),g(y), logo não é separável.

Passo 5

Testamos linearidade: rearranjando
dydx - 1x,y = xcos x,
vemos que está na forma
dydx + P(x),y = Q(x)
com P(x)=-tfrac1x e Q(x)=xcos x. Portanto é uma equação linear de primeira ordem.

Resposta

A equação é linear de primeira ordem (não separável e não exata).

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