Nos problemas a seguir, classifique a equação como separável, linear, exata ou nenhuma delas. Observe que algumas equações podem ter mais de uma classificação.
(y e^x y+2 x) d x+(x e^x y-2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
l(y e^x y+2 xr),dx + l(x e^x y-2 yr),dy = 0
como separável, linear, exata ou nenhuma delas. Vamos lembrar as definições:
  • Separável: pode escrever dy/dx = f(x),g(y).
  • Linear em y: pode escrever dy/dx + P(x),y = Q(x).
  • Exata: se existe uma função Phi(x,y) tal que Phix = M e Phiy = N, isto é, partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Teste de separabilidade. Colocando a equação na forma
dydx = -y e^x y + 2 xx e^x y - 2 y
vemos que o lado direito não se decompõe em produto de uma função só de x por uma só de y. Logo, não é separável.

Passo 3

Teste de linearidade em y. A forma geral linear é
dydx + P(x),y = Q(x)
Mas o nosso lado direito depende de e^xy de modo não linear em y. Portanto, não é linear em y. (Também não é linear em x tratando-se y como independente.)

Passo 4

Teste de exatidão. Definimos
M(x,y) = y e^x y+2 x, N(x,y) = x e^x y-2 y
Calculamos
partial Mpartial y = e^x y + x y e^x y = e^x y(1 + x y),
partial Npartial x = e^x y + x y e^x y = e^x y(1 + x y)
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Resposta

Exata.

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