Em cada item abaixo, calcule a derivada de segunda ordem da função dada.
y=x^2 ln (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de segunda ordem da função
y = x^2,lnl(2xr)
Os conteúdos que vamos usar são a regra do produto e a derivada de ln(2x) (regra da cadeia).

Passo 2

Para encontrar a primeira derivada y', aplicamos a regra do produto a
;u=x^2 e ;v=ln(2x):
y' = u',v + u,v' = 2x ,lnl(2xr) + x^2,ddxl[ln(2x)r]
Como ddxln(2x)=1x, temos
y' = 2x,lnl(2xr) + x^2cdot1x = 2x,lnl(2xr) + x

Passo 3

Podemos reescrever y' fatorando x:
y' = xl(2ln(2x) + 1r)

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada y'' usando novamente a regra do produto em
;x e ;(2ln(2x)+1):
y'' = 1cdotl(2ln(2x)+1r) + xcdotddxl[2ln(2x)+1r]
Como ddx[2ln(2x)+1]=2cdot1x=2x, obtemos
y'' = 2ln(2x)+1 + xcdot2x = 2ln(2x)+1 + 2 = 2ln(2x)+3

Resposta

y'' = 2lnl(2xr) + 3

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