Questão 2(3,0) Calcule os limites
lim t 2 t^3-t^2-4 t+4t^2-2 t

Passo 1

O enunciado pede calcular
limtto 2 t^3 - t^2 - 4t + 4t^2 - 2t
O tema é limite de função racional com indeterminação tfrac00. Para resolver, vamos fatorar numerador e denominador, simplificar e então avaliar o limite.

Passo 2

Primeiro, verificamos a indeterminação substituindo t=2:
num = 2^3 - 2^2 -4cdot2 +4 = 8 -4 -8 +4 =0,
den = 2^2 -2cdot2 =4 -4 =0
Como deu 0/0, fatoramos o numerador por agrupamento:
t^3 - t^2 -4t +4 = t^2(t-1) -4(t-1) = (t^2 -4)(t-1) = (t-2)(t+2)(t-1)

Passo 3

Agora fatoramos o denominador:
t^2 -2t = t(t-2)
Assim a fração original fica
t^3 - t^2 -4t +4t^2 -2t = (t-2)(t+2)(t-1)t(t-2)
Cancelando o fator comum (t-2) (válido para tneq2), obtemos
(t+2)(t-1)t

Passo 4

A função simplificada é contínua em t=2, então basta substituir:
(2+2)(2-1)2 = 4cdot12 = 2
Logo o limite é 2.

Resposta

2

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