Em cada item abaixo, calcule a derivada de segunda ordem da função dada.
g(x)=ln (x+raiz1+x^2)

Passo 1

A gente quer achar a segunda derivada de g(x)=lnl(x+raiz1+x^2r). O conteúdo aqui envolve derivada de função composta (regra da cadeia), derivada de logaritmo natural e derivada de raiz quadrada.

Passo 2

Para obter g'(x), usamos a regra
ddxln(f(x))=f'(x)f(x).
Definindo
f(x)=x+raiz1+x^2
precisamos de
$$
f’(x)=1+\frac{d}{dx}\sqrt{1+x2}=1+\frac{1}{2\sqrt{1+x2}}\cdot2x=1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} f'(x)=1+ddxraiz1+x^2=1+12raiz1+x^2cdot2x=1+xraiz1+x^2
g’(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x2}}}{x+\sqrt{1+x2}}$$

Passo 3

Para simplificar g'(x), note que
$$
1+\frac{x}{\sqrt{1+x2}}=\frac{\sqrt{1+x2}+x}{\sqrt{1+x^2}} 1+xraiz1+x^2=raiz1+x^2+xraiz1+x^2ã
g’(x)=\frac{\frac{\sqrt{1+x2}+x}{\sqrt{1+x2}}}{x+\sqrt{1+x2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x2}}$$

Passo 4

Agora derivamos g'(x)=(1+x^2)^-1/2 usando a regra da potência e a derivada de 1+x^2:
$$
g’’(x)=-\tfrac12(1+x2){-3/2}\cdot2x=-\frac{x}{(1+x2){3/2}}$$

Resposta

g''(x)=-x(1+x^2)^3/2

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