Em cada item abaixo, calcule a derivada de segunda ordem da função dada.
Passo 1
A gente quer achar a segunda derivada de
. O conteúdo aqui envolve derivada de função composta (regra da cadeia), derivada de logaritmo natural e derivada de raiz quadrada.
Passo 2
Para obter
, usamos a regra
.
Definindo
Definindo
precisamos de
$$
f’(x)=1+\frac{d}{dx}\sqrt{1+x2}=1+\frac{1}{2\sqrt{1+x2}}\cdot2x=1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
g’(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x2}}}{x+\sqrt{1+x2}}$$
Passo 3
Para simplificar
, note que
$$
1+\frac{x}{\sqrt{1+x2}}=\frac{\sqrt{1+x2}+x}{\sqrt{1+x^2}}
g’(x)=\frac{\frac{\sqrt{1+x2}+x}{\sqrt{1+x2}}}{x+\sqrt{1+x2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x2}}$$
Passo 4
Agora derivamos
usando a regra da potência e a derivada de
:
$$
g’’(x)=-\tfrac12(1+x2){-3/2}\cdot2x=-\frac{x}{(1+x2){3/2}}$$