Para cada item abaixo, determine a direção de máxima variação e uma direção de variação nula para a função a partir do ponto dado.
c) f(x, y)=e^x cdot y cdot sen(y-x), ponto P0(ln (3), 1).

Passo 1

O enunciado pede as direções de máxima variação e de variação nula da função
f(x,y)=e^x,y,sin(y - x)
no ponto P0(ln(3),1).
Para isso precisamos do gradiente nabla f, pois ele aponta a direção de maior crescimento, e de um vetor ortogonal a nabla f para obter uma direção de variação nula.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Usando regra do produto e cadeia, temos
partial fpartial x =partialpartial xl(e^xyr)sin(y-x) +e^xy,partialpartial xl(sin(y-x)r) =e^xyl(ysin(y-x)r) +e^xyl(cos(y-x)cdot(-1)r),
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fx(x,y) = e^xyl(ysin(y-x)-cos(y-x)r)
De modo análogo,
partial fpartial y =e^xyl(xsin(y-x)r) +e^xyl(cos(y-x)cdot1r),
portanto
fy(x,y) = e^xyl(xsin(y-x)+cos(y-x)r)

Passo 3

Agora avaliamos em P0(x=ln3,;y=1). Note que e^xy=e^ln3cdot1=3 e escrevemos
A = fx(P0) =3l[sinl(1-ln3r)-cosl(1-ln3r)r],
B = fy(P0) =3l[ln3;sinl(1-ln3r)+cosl(1-ln3r)r]
Assim
nabla f(P0) = (A,;B)

Passo 4

A direção de máxima variação é a direção de nabla f(P0). O versor correspondente é
umax =nabla f(P0)|nabla f(P0)| =l(AraizA^2+B^2,,BraizA^2+B^2r)

Passo 5

Uma direção de variação nula é qualquer vetor ortogonal a nabla f(P0). Por exemplo,
v =(B,,-A),
pois
nabla f(P0)cdotv = Acdot B + Bcdot(-A) = 0

Resposta

Direção de máxima variação (versor):
umax =1raizA^2+B^2l(A,;Br),
com
A=3l[sin(1-ln3)-cos(1-ln3)r], B=3l[ln3,sin(1-ln3)+cos(1-ln3)r]
Uma direção de variação nula é, por exemplo,
v=(B,-A),
que é ortogonal ao gradiente em P0.

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