Para cada item abaixo, determine a direção de máxima variação e uma direção de variação nula para a função a partir do ponto dado.
c)
, ponto
.
c)
Passo 1
O enunciado pede as direções de máxima variação e de variação nula da função
no ponto
.
Para isso precisamos do gradiente , pois ele aponta a direção de maior crescimento, e de um vetor ortogonal a
para obter uma direção de variação nula.
Para isso precisamos do gradiente
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
. Usando regra do produto e cadeia, temos
logo
De modo análogo,
portanto
Passo 3
Agora avaliamos em
. Note que
e escrevemos
Assim
Passo 4
A direção de máxima variação é a direção de
. O versor correspondente é
Passo 5
Uma direção de variação nula é qualquer vetor ortogonal a
. Por exemplo,
pois
Resposta
Direção de máxima variação (versor):
com
Uma direção de variação nula é, por exemplo,
que é ortogonal ao gradiente em
.