Para cada item abaixo, calcule o gradiente da função.
e)
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável (
,
e
). Para resolver, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui, tratamos
e
como constantes. A função
é uma fração, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então:
Onde:
-
e (já que e são constantes em relação a ) -
e
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra do quociente. Aqui:
-
e (derivada de em relação a ) -
e
Aplicando a regra:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
e
são constantes. Novamente, aplicamos a regra do quociente:
-
e (derivada de em relação a ) -
e (já que não depende de )
Aplicando a regra:
Resposta
Portanto, o gradiente da função
é dado por: