Para cada item abaixo, calcule o gradiente da função.
e) f(x, y, z)=y-zx+y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o gradiente da função f(x, y, z) = y - zx + y . O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável ( x, y e z). Para resolver, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
Aqui, tratamos y e z como constantes. A função f é uma fração, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se f = gh , então:
partial fpartial x = g' cdot h - g cdot h'h^2
Onde:
  • g = y - z e g' = 0 (já que y e z são constantes em relação a x )
  • h = x + y e h' = 1
Aplicando a regra:
partial fpartial x = 0 cdot (x + y) - (y - z) cdot 1(x + y)^2 = -y - z(x + y)^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Novamente, usamos a regra do quociente. Aqui:
  • g = y - z e g' = 1 (derivada de y em relação a y )
  • h = x + y e h' = 1
Aplicando a regra:
partial fpartial y = 1 cdot (x + y) - (y - z) cdot 1(x + y)^2 = x + y - y + z(x + y)^2 = x + z(x + y)^2

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a z , ou seja, partial fpartial z .
Aqui, x e y são constantes. Novamente, aplicamos a regra do quociente:
  • g = y - z e g' = -1 (derivada de z em relação a z )
  • h = x + y e h' = 0 (já que h não depende de z )
Aplicando a regra:
partial fpartial z = -1 cdot (x + y) - (y - z) cdot 0(x + y)^2 = -x + y(x + y)^2 = -1x + y

Resposta

Portanto, o gradiente da função f(x, y, z) é dado por:
nabla f = ( -y - z(x + y)^2, x + z(x + y)^2, -1x + y )

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