Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis.
Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado.
Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente.
b) Função f(x, y)=y^2-x^2, ponto P0(1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! A gente tem uma função de duas variáveis, que é f(x, y) = y^2 - x^2 , e um ponto específico na superfície dessa função, que é P0(1, 2, 3) . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície nesse ponto e também a equação da reta normal a essa superfície nesse mesmo ponto. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano tangente e entender melhor como a superfície se comporta perto de P0 .

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto P0(1, 2, 3) realmente está na superfície definida por f(x, y) = y^2 - x^2 . Para isso, substituímos x = 1 e y = 2 na função:
f(1, 2) = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3
Como f(1, 2) = 3 , o ponto (1, 2, 3) está, de fato, na superfície.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda conforme variamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
fx(x, y) = partial fpartial x = -2x
fy(x, y) = partial fpartial y = 2y

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto P0(1, 2, 3) :
fx(1, 2) = -2 times 1 = -2
fy(1, 2) = 2 times 2 = 4
Esses valores representam as inclinações do plano tangente nas direções de x e y no ponto P0 .

Passo 5

A equação do plano tangente à superfície no ponto P0(x0, y0, z0) é dada por:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores que temos:
z - 3 = (-2)(x - 1) + 4(y - 2)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
z - 3 = -2x + 2 + 4y - 8
z - 3 = -2x + 4y - 6
z = -2x + 4y - 3
Então, a equação do plano tangente é:
z = -2x + 4y - 3

Passo 7

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto P0 . A reta normal é perpendicular ao plano tangente e, portanto, sua direção é dada pelo vetor normal ao plano tangente.
O vetor normal ao plano tangente pode ser representado pelas derivadas parciais fx e fy , junto com -1 (pois estamos considerando a mudança em z ):
n = lang<= fx(1, 2), fy(1, 2), -1 rang<= = lang<= -2, 4, -1 rang<=

Passo 8

A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto P0(1, 2, 3) e tem direção n = lang<= -2, 4, -1 rang<= é dada por:
x = x0 + a t = 1 - 2t
y = y0 + b t = 2 + 4t
z = z0 + c t = 3 - t
Onde t é o parâmetro real.

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto P0(1, 2, 3) é:
z = -2x + 4y - 3
E a equação paramétrica da reta normal à superfície nesse ponto é:
x = 1 - 2t y = 2 + 4t z = 3 - t

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