Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis.
Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado.
Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente.
b) Função
, ponto
.
Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado.
Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente.
b) Função
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! A gente tem uma função de duas variáveis, que é
, e um ponto específico na superfície dessa função, que é
. Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície nesse ponto e também a equação da reta normal a essa superfície nesse mesmo ponto. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar as inclinações do plano tangente e entender melhor como a superfície se comporta perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto
realmente está na superfície definida por
. Para isso, substituímos
e
na função:
Como
, o ponto
está, de fato, na superfície.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda conforme variamos uma variável enquanto mantemos a outra constante.
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Esses valores representam as inclinações do plano tangente nas direções de
e
no ponto
.
Passo 5
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é dada por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto
. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e, portanto, sua direção é dada pelo vetor normal ao plano tangente.
O vetor normal ao plano tangente pode ser representado pelas derivadas parciais
e
, junto com
(pois estamos considerando a mudança em
):
Passo 8
A equação paramétrica da reta normal que passa pelo ponto
e tem direção
é dada por:
Onde
é o parâmetro real.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é:
E a equação paramétrica da reta normal à superfície nesse ponto é: