Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis. Determine os pontos onde o plano tangente à superfície é horizontal.
c) Função
.
c) Função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, que representa uma superfície no espaço. O objetivo é encontrar os pontos onde o plano tangente a essa superfície é horizontal. Para isso, precisamos usar o conceito de derivadas parciais.
Passo 2
Um plano tangente à superfície
é horizontal quando suas derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. As derivadas parciais nos dizem a inclinação da superfície nas direções de
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Para que o plano tangente seja horizontal, ambas as derivadas parciais devem ser iguais a zero. Então, estabelecemos o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema:
Passo 6
Encontramos os valores de
e
. Agora, para completar os pontos onde o plano tangente é horizontal, podemos calcular o valor de
substituindo
e
na função
:
Resposta
O plano tangente à superfície
é horizontal no ponto
.