Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis. Determine os pontos onde o plano tangente à superfície é horizontal.
c) Função f(x, y)=x^2+y^2-3 x+y.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, f(x, y) = x^2 + y^2 - 3x + y , que representa uma superfície no espaço. O objetivo é encontrar os pontos onde o plano tangente a essa superfície é horizontal. Para isso, precisamos usar o conceito de derivadas parciais.

Passo 2

Um plano tangente à superfície z = f(x, y) é horizontal quando suas derivadas parciais em relação a x e y são iguais a zero. As derivadas parciais nos dizem a inclinação da superfície nas direções de x e y .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x, y) :
partial fpartial x = 2x - 3
partial fpartial y = 2y + 1

Passo 4

Para que o plano tangente seja horizontal, ambas as derivadas parciais devem ser iguais a zero. Então, estabelecemos o sistema de equações:
2x - 3 = 0
2y + 1 = 0

Passo 5

Vamos resolver o sistema:
  1. 2x - 3 = 0
2x = 3
x = 32
  1. 2y + 1 = 0
2y = -1
y = -12

Passo 6

Encontramos os valores de x e y . Agora, para completar os pontos onde o plano tangente é horizontal, podemos calcular o valor de z substituindo x = 32 e y = -12 na função f(x, y) :
z = (32)^2 + (-12)^2 - 3 (32) + (-12)
z = 94 + 14 - 92 - 12 = 104 - 102 = 52 - 5 = -52

Resposta

O plano tangente à superfície f(x, y) = x^2 + y^2 - 3x + y é horizontal no ponto ( 32, -12, -52 ) .

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