Para cada item abaixo, considere a curva definida pela equação em 2 variáveis. Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva no ponto dado. Use um software de computação científica para construir o gráfico da curva e da reta tangente. Dica: associe uma função de 2 variáveis com a curva, considerando a curva dada como uma curva de nível desta função.
c) Curva x^3-9 x y+y^3=0, ponto P0(2,4).

Passo 1

Estamos diante da curva implícita definida por
x^3-9xy+y^3=0
e queremos as equações da reta tangente e da reta normal no ponto P0(2,4).
Conteúdo: vamos tratar essa curva como curva de nível de
F(x,y)=x^3-9xy+y^3,
usar gradiente para obter a inclinação da reta normal e, via diferenciação implícita, a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Definimos
F(x,y)=x^3-9xy+y^3
As derivadas parciais são
Fx(x,y)=3x^2-9y, Fy(x,y)=-9x+3y^2
No ponto P0(2,4),
Fx(2,4)=3cdot2^2-9cdot4=12-36=-24,
Fy(2,4)=-9cdot2+3cdot4^2=-18+48=30
O vetor gradiente em P0 é nabla F(2,4)=(-24,,30), que aponta na direção da reta normal.

Passo 3

A inclinação da reta tangente vem da diferenciação implícita ou da relação
dydx=-FxFy
Logo, em P0,
dydx|(2,4) =--2430 =2430 =45

Passo 4

Com a inclinação da tangente mt=tfrac45 e sabendo que a reta normal tem inclinação mn=-tfrac1mt=-tfrac54, obtemos:
A reta tangente em P0(2,4) é
y-4=45,(x-2)
A reta normal em P0(2,4) é
y-4=-54,(x-2)

Resposta

Reta tangente:
y-4=45(x-2)
Reta normal:
y-4=-54(x-2)

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