Para cada item abaixo, considere a curva definida pela equação em 2 variáveis. Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva no ponto dado. Use um software de computação científica para construir o gráfico da curva e da reta tangente. Dica: associe uma função de 2 variáveis com a curva, considerando a curva dada como uma curva de nível desta função.
c) Curva , ponto .
Passo 1
Estamos diante da curva implícita definida por
e queremos as equações da reta tangente e da reta normal no ponto .
Conteúdo: vamos tratar essa curva como curva de nível de
usar gradiente para obter a inclinação da reta normal e, via diferenciação implícita, a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Definimos
As derivadas parciais são
No ponto ,
O vetor gradiente em é , que aponta na direção da reta normal.
Passo 3
A inclinação da reta tangente vem da diferenciação implícita ou da relação
Logo, em ,
Passo 4
Com a inclinação da tangente mt=tfrac45 e sabendo que a reta normal tem inclinação mn=-tfrac1mt=-tfrac54, obtemos: