Esboce o gráfico das seguintes funções:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
.
O conteúdo envolvido é o de funções hiperbólicas, em particular a função secante hiperbólica, e precisamos usar definição, domínio, imagem, limites e simetria para construir o esboço.
O conteúdo envolvido é o de funções hiperbólicas, em particular a função secante hiperbólica, e precisamos usar definição, domínio, imagem, limites e simetria para construir o esboço.
Passo 2
Definimos a secante hiperbólica como
,
onde . Portanto
.
onde
Passo 3
O domínio de
é todo
, pois
nunca se anula.
A imagem está entre 0 e 1, já que para todo
, logo
A imagem está entre 0 e 1, já que
Passo 4
Calculamos limites e valor no ponto crítico:
– Para ,
, então
– Para
– No ponto
,
, logo
Passo 5
Verificamos simetria: como
é função par, temos
ou seja,
é par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 6
O fator 3 comprimindo o argumento faz o decaimento para 0 mais rápido do que
. Ou seja, em
já estamos perto de zero, pois
e
.
Passo 7
Com essas informações, o esboço é uma “campânula” centrada em
:
– atinge o máximo ,
– decai rapidamente para 0 conforme cresce,
– é suave, contínua e simétrica.
– atinge o máximo
– decai rapidamente para 0 conforme
– é suave, contínua e simétrica.
Resposta
O gráfico de
é uma curva em forma de campânula, com ponto mais alto em
, decaindo monotonamente para 0 em ambas as direções, e simétrica em relação ao eixo
.