Esboce o gráfico das seguintes funções:
f) y=sech(3 x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
;y=sech(3x).
O conteúdo envolvido é o de funções hiperbólicas, em particular a função secante hiperbólica, e precisamos usar definição, domínio, imagem, limites e simetria para construir o esboço.

Passo 2

Definimos a secante hiperbólica como
sech(u)=1cosh(u),
onde cosh(u)=tfrace^u+e^-u2. Portanto
y=sech(3x)=1cosh(3x).

Passo 3

O domínio de sech(3x) é todo R, pois cosh(3x) nunca se anula.
A imagem está entre 0 e 1, já que cosh(3x)>=1 para todo x, logo
0<sech(3x)<=1

Passo 4

Calculamos limites e valor no ponto crítico:
– Para xtopminfty, cosh(3x)to+infty, então
limxtopminftysech(3x)=0
– No ponto x=0, cosh(0)=1, logo
sech(0)=1

Passo 5

Verificamos simetria: como cosh é função par, temos
sech(3(-x))=1cosh(-3x)=1cosh(3x)=sech(3x),
ou seja, y é par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 6

O fator 3 comprimindo o argumento faz o decaimento para 0 mais rápido do que sech(x). Ou seja, em x=pm1 já estamos perto de zero, pois cosh(3)approx10 e sech(3)approx0,1.

Passo 7

Com essas informações, o esboço é uma “campânula” centrada em x=0:
– atinge o máximo y(0)=1,
– decai rapidamente para 0 conforme |x| cresce,
– é suave, contínua e simétrica.

Resposta

O gráfico de y=sech(3x) é uma curva em forma de campânula, com ponto mais alto em (0,1), decaindo monotonamente para 0 em ambas as direções, e simétrica em relação ao eixo y.

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