Para cada item abaixo, calcule o gradiente da função.
b) f(x, y)=xraizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y)=xraizx^2+y^2
Aqui o conteúdo é cálculo de derivadas parciais e aplicação da regra do produto e da cadeia para funções de duas variáveis. Vamos usar a definição
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)

Passo 2

Para achar partial fpartial x, escrevemos
f(x,y)=x,(x^2+y^2)^-tfrac12
Aplicamos a regra do produto:
partial fpartial x =1cdot(x^2+y^2)^-tfrac12 + xcdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-tfrac32cdot 2x
Simplificando,
partial fpartial x =1raizx^2+y^2 -x^2(x^2+y^2)^3/2 =x^2+y^2 - x^2(x^2+y^2)^3/2 =y^2(x^2+y^2)^3/2

Passo 3

Para achar partial fpartial y, usamos apenas a parte que depende de y na regra da cadeia, pois x é tratado como constante:
partial fpartial y =xcdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-tfrac32cdot 2y =-xy(x^2+y^2)^3/2

Passo 4

Juntando as duas componentes, o gradiente fica
nabla f(x,y) =l(y^2(x^2+y^2)^3/2,;-xy(x^2+y^2)^3/2r)

Resposta

nabla f(x,y) =l(y^2(x^2+y^2)^3/2,;-xy(x^2+y^2)^3/2r)

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