Calcule por coordenadas polares a integral dupla
, onde R é a região no primeiro quadrante, limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas polares. A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como expressar a área
nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, a relação entre
,
e
(a distância ao origem) e
(o ângulo) é:
Além disso, a área diferencial
em coordenadas polares é dada por:
E a expressão
simplifica para
.
Passo 3
Agora, vamos substituir esses valores na integral original. A expressão
fica:
Então, a integral passa a ser:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Como a região
está no primeiro quadrante e limitada pela circunferência de raio 1:
- O raio
varia de 0 a 1. - O ângulo
varia de 0 a (90 graus).
Passo 5
Agora, configuramos a integral com os limites encontrados:
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, resolvemos a última integral em relação a
:
Multiplicando pelo
que tínhamos:
Resposta
O valor da integral é
.