Calcule por coordenadas polares a integral dupla integralR integral xraizx^2+y^2 dA, onde R é a região no primeiro quadrante, limitada pela circunferência x^2+y^2=1 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando coordenadas polares. A gente precisa calcular a integral dupla integralR xraizx^2+y^2 , dA, onde R é a região no primeiro quadrante limitada pela circunferência x^2+y^2=1 e pelos eixos coordenados. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como expressar a área dA nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, a relação entre x, y e r (a distância ao origem) e theta (o ângulo) é:
x = r cos theta y = r sin theta
Além disso, a área diferencial dA em coordenadas polares é dada por:
dA = r , dr , dtheta
E a expressão raizx^2 + y^2 simplifica para r.

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na integral original. A expressão xraizx^2+y^2 fica:
xr = r cos thetar = cos theta
Então, a integral passa a ser:
integral integral cos theta cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Como a região R está no primeiro quadrante e limitada pela circunferência de raio 1:
  • O raio r varia de 0 a 1.
  • O ângulo theta varia de 0 a pi2 (90 graus).

Passo 5

Agora, configuramos a integral com os limites encontrados:
integral0^pi2 integral0^1 cos theta cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^1 r , dr = [ r^22 ]0^1 = 12
Então, a integral fica:
12 integral0^pi2 cos theta , dtheta

Passo 6

Agora, resolvemos a última integral em relação a theta:
integral0^pi2 cos theta , dtheta = [ sin theta ]0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Multiplicando pelo 12 que tínhamos:
12 times 1 = 12

Resposta

O valor da integral é 12.

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