Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis. Determine os pontos onde o plano tangente à superfície é horizontal.
b) Função
.
b) Função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos onde o plano tangente à superfície dada pela função
é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e planos tangentes em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa um plano tangente ser horizontal. Em termos matemáticos, isso ocorre quando as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero no ponto considerado. Ou seja, queremos encontrar os pontos
onde:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos onde o plano tangente é horizontal:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, podemos expressar
em função de
:
Substituindo na primeira equação:
Passo 6
Com
, substituímos de volta na equação
:
Passo 7
Encontramos que
e
. Agora, vamos encontrar o valor de
:
Resposta
O único ponto onde o plano tangente é horizontal é
.