Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis. Determine os pontos onde o plano tangente à superfície é horizontal.
b) Função f(x, y)=x^2+x cdot y-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos onde o plano tangente à superfície dada pela função é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e planos tangentes em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um plano tangente ser horizontal. Em termos matemáticos, isso ocorre quando as derivadas parciais da função em relação a fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0 e são iguais a zero no ponto considerado. Ou seja, queremos encontrar os pontos onde:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função fx(x, y) = partialpartial x(x^2 + x cdot y - y^2) = 2x + y :
  • Derivada parcial em relação a fy(x, y) = partialpartial y(x^2 + x cdot y - y^2) = x - 2y :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos onde o plano tangente é horizontal:
2x + y = 0 x - 2y = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, podemos expressar x = 2y em função de 2(2y) + y = 0 4y + y = 0 5y = 0 y = 0 :
Substituindo na primeira equação:

Passo 6

Com x = 2 cdot 0 x = 0 , substituímos de volta na equação :

Passo 7

Encontramos que f(0, 0) = 0^2 + 0 cdot 0 - 0^2 = 0 e . Agora, vamos encontrar o valor de :

Resposta

O único ponto onde o plano tangente é horizontal é .

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