Para cada item abaixo, calcule o gradiente da função.
f) f(x, y, z)=2 x cos (y-z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função f(x, y, z) = 2x cos(y - z) . Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de gradiente, que nos dá a direção de maior crescimento da função. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a cada uma das variáveis: x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x . Quando derivamos em relação a x , tratamos y e z como constantes.
partial fpartial x = partialpartial x ( 2x cos(y - z) )
Como cos(y - z) é uma constante em relação a x , a derivada fica:
partial fpartial x = 2 cos(y - z)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , partial fpartial y . Aqui, x e z são constantes, mas precisamos usar a regra da cadeia porque y está dentro do cosseno.
partial fpartial y = partialpartial y ( 2x cos(y - z) )
Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial y = 2x cdot (-sin(y - z)) cdot partialpartial y(y - z)
partial fpartial y = -2x sin(y - z)

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a z , partial fpartial z . Novamente, x e y são constantes, e usamos a regra da cadeia.
partial fpartial z = partialpartial z ( 2x cos(y - z) )
Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial z = 2x cdot (-sin(y - z)) cdot partialpartial z(y - z)
partial fpartial z = 2x sin(y - z)

Resposta

O gradiente da função f(x, y, z) = 2x cos(y - z) é dado por:
nabla f = ( 2 cos(y - z), -2x sin(y - z), 2x sin(y - z) )

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