Para cada item abaixo, calcule o gradiente da função.
f)
.
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o gradiente da função
. Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de gradiente, que nos dá a direção de maior crescimento da função. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
e
como constantes.
Como
é uma constante em relação a
, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
. Aqui,
e
são constantes, mas precisamos usar a regra da cadeia porque
está dentro do cosseno.
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
. Novamente,
e
são constantes, e usamos a regra da cadeia.
Aplicando a regra da cadeia:
Resposta
O gradiente da função
é dado por: