Para cada item abaixo, determine a direção de máxima variação e uma direção de variação nula para a função a partir do ponto dado.
e)
ponto
.
e)
Passo 1
O enunciado pede a direção de máxima variação e uma direção de variação nula da função
no ponto
. O método geral envolve o gradiente
: a direção de máximo crescimento é o vetor gradiente normalizado e direções de variação nula são vetores ortogonais a
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Em
temos
e, portanto,
. Logo,
Passo 4
O módulo do gradiente em
é
Assim, a direção de máxima variação (vetor unitário) é
Passo 5
Para obter uma direção de variação nula basta achar
tal que
Um exemplo simples é
, pois
Se quisermos, podemos normalizá-lo para
.
Resposta
Direção de máxima variação:
.
Direção de variação nula: (ou sua versão unitária
).
Direção de variação nula: