Para cada item abaixo, determine a direção de máxima variação e uma direção de variação nula para a função a partir do ponto dado.
e) f(x, y, z)=x e^y+z^2, ponto P0(1, ln (2), 2).

Passo 1

O enunciado pede a direção de máxima variação e uma direção de variação nula da função
f(x,y,z)=x,e^y+z^2
no ponto P0=(1,ln2,2). O método geral envolve o gradiente nabla f: a direção de máximo crescimento é o vetor gradiente normalizado e direções de variação nula são vetores ortogonais a nabla f.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=e^y, partial fpartial y=x,e^y, partial fpartial z=2z

Passo 3

Em P0 temos y=ln2 e, portanto, e^y=2. Logo,
nabla f(P0) ;=;l(e^ln2,,1cdot e^ln2,,2cdot2r) ;=;(2,2,4)

Passo 4

O módulo do gradiente em P0 é
|nabla f(P0)|=raiz2^2+2^2+4^2=2raiz6
Assim, a direção de máxima variação (vetor unitário) é
umax =nabla f(P0)|nabla f(P0)| =(2,2,4)2raiz6 =(1,1,2)raiz6

Passo 5

Para obter uma direção de variação nula basta achar v=(v1,v2,v3) tal que
nabla f(P0)cdot v =2v1+2v2+4v3=0
Um exemplo simples é v=(1,-1,0), pois
2cdot1+2cdot(-1)+4cdot0=0
Se quisermos, podemos normalizá-lo para
u0=(1,-1,0)/raiz2.

Resposta

Direção de máxima variação: (1,1,2)raiz6.
Direção de variação nula: (1,-1,0) (ou sua versão unitária tfrac(1,-1,0)raiz2).

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