Para cada item abaixo, calcule o gradiente da função.
c) f(x, y)=8 e^-x / 4 cdot cos (y).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para calcular o gradiente da função f(x, y) = 8 e^-x / 4 cdot cos(y) . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente sobre gradientes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como f(x, y) , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é composto pelas derivadas parciais da função em relação a x e y . Ou seja:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , que é partial fpartial x . A função é f(x, y) = 8 e^-x / 4 cdot cos(y) . Como cos(y) é tratado como uma constante quando derivamos em relação a x , aplicamos a regra da derivada de uma função exponencial:
partial fpartial x = 8 cdot ddx(e^-x / 4) cdot cos(y) = 8 cdot (-14 e^-x / 4) cdot cos(y) = -2 e^-x / 4 cdot cos(y)

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , que é partial fpartial y . Aqui, 8 e^-x / 4 é tratado como uma constante, então usamos a derivada da função cos(y) , que é -sin(y) :
partial fpartial y = 8 e^-x / 4 cdot ddy(cos(y)) = 8 e^-x / 4 cdot (-sin(y)) = -8 e^-x / 4 cdot sin(y)

Resposta

O gradiente da função f(x, y) = 8 e^-x / 4 cdot cos(y) é:
nabla f = ( -2 e^-x / 4 cdot cos(y), -8 e^-x / 4 cdot sin(y) )

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