Para cada item abaixo, considere a curva definida pela equação em 2 variáveis. Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva no ponto dado. Use um software de computação científica para construir o gráfico da curva e da reta tangente. Dica: associe uma função de 2 variáveis com a curva, considerando a curva dada como uma curva de nível desta função.
b) Curva , ponto .
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente e da reta normal à curva definida implicitamente por
no ponto . O conteúdo é derivada implícita para curvas de nível e vamos precisar das derivadas parciais e e da fórmula
Passo 2
Começamos calculando as derivadas parciais de :
Isso vem do conceito de gradiente, que indica a taxa de variação de nas direções e .
Passo 3
Aplicamos a fórmula da derivada implícita
No ponto temos
portanto o coeficiente angular da reta tangente é
Passo 4
Para obter a equação da reta tangente, usamos a forma ponto-ângulo:
y-3=15,(x-1)
Isso garante que a reta passe por P0(1,3) com inclinação tfrac15.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à tangente e seu coeficiente angular é o negativo do inverso de mt:
mn=-1mt=-5
Então sua equação, também na forma ponto-ângulo, é
y-3=-5,(x-1)
Passo 6
Finalmente, usando um software como Python (com Sympy e Matplotlib) ou Mathematica, podemos plotar simultaneamente
– a curva implícita x^2-x y+y^2=7
– a reta tangente y-3=tfrac15(x-1)
– a reta normal y-3=-5(x-1)
para visualizar como elas se interceptam no ponto P0(1,3).