Para cada item abaixo, considere a curva definida pela equação em 2 variáveis. Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva no ponto dado. Use um software de computação científica para construir o gráfico da curva e da reta tangente. Dica: associe uma função de 2 variáveis com a curva, considerando a curva dada como uma curva de nível desta função.
b) Curva x^2-x y+y^2=7, ponto P0(1,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente e da reta normal à curva definida implicitamente por
F(x,y)=x^2-x,y+y^2-7=0
no ponto P0(1,3). O conteúdo é derivada implícita para curvas de nível e vamos precisar das derivadas parciais Fx e Fy e da fórmula
dydx=-FxFy

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais de F(x,y)=x^2-x y+y^2-7:
Fx(x,y)=2x-y,
Fy(x,y)=-x+2y
Isso vem do conceito de gradiente, que indica a taxa de variação de F nas direções x e y.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da derivada implícita
dydx=-FxFy
No ponto P0(1,3) temos
Fx(1,3)=2cdot1-3=-1,
Fy(1,3)=-1+2cdot3=5,
portanto o coeficiente angular da reta tangente é
mt=dydx|(1,3)=--15=15

Passo 4

Para obter a equação da reta tangente, usamos a forma ponto-ângulo:
y-3=15,(x-1)
Isso garante que a reta passe por P0(1,3) com inclinação tfrac15.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente e seu coeficiente angular é o negativo do inverso de mt:
mn=-1mt=-5
Então sua equação, também na forma ponto-ângulo, é
y-3=-5,(x-1)

Passo 6

Finalmente, usando um software como Python (com Sympy e Matplotlib) ou Mathematica, podemos plotar simultaneamente
– a curva implícita x^2-x y+y^2=7
– a reta tangente y-3=tfrac15(x-1)
– a reta normal y-3=-5(x-1)
para visualizar como elas se interceptam no ponto P0(1,3).

Resposta

Reta tangente: y-3=15(x-1).
Reta normal: y-3=-5(x-1).

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