Calcule as seguintes integrais:
integral1^2 integral0^x y ln (x) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral1^2!integral0^x y,ln(x),dy,dx
O conteúdo aqui é cálculo de integrais iteradas. Vamos primeiro avaliar a integral interna em y, tratando ln(x) como constante, e depois resolver a integral em x.

Passo 2

Calcule a integral interna em y: como ln(x) não depende de y, temos
integral0^x y,ln(x),dy = ln(x),integral0^x y,dy = ln(x),gl[y^22gr]0^x = x^22,ln(x)

Passo 3

Substituindo na integral original, sobra
integral1^2x^22,ln(x),dx = 12integral1^2x^2,ln(x),dx

Passo 4

Para calcular integral x^2ln(x),dx, use integração por partes. Seja
u = ln(x), dv = x^2dx,
então
du = 1xdx, v = x^33
Pelo método de partes,
integral x^2ln(x),dx = x^33,ln(x) - integral x^33,1x,dx = x^33ln(x) - 13integral x^2,dx = x^33ln(x) - x^39

Passo 5

Avalie esse resultado de x=1 a x=2:
l[x^33ln(x) - x^39r]1^2 = l(83ln(2) - 89r) - l(13ln(1) - 19r) = 83ln(2) - 89 + 19 = 83ln(2) - 79

Passo 6

Não esqueça do fator tfrac12 que estava fora da integral:
12l(83ln(2) - 79r) = 43ln(2) - 718

Resposta

integral1^2integral0^x y,ln(x),dy,dx = 43ln(2) - 718

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