Calcule integral duplaR f(x, y) d R, onde:
f(x, y)=x^3+4 y e R=(x, y) in R^2 / 0 <= x <= 2, x^2 <= y <= 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaRf(x,y),dR,
onde f(x,y)=x^3+4y e
R=(x,y)inR^2mid 0<= x<=2,;x^2<= y<=2x
O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas. Vamos integrar primeiro em y (de y=x^2 até y=2x) e depois em x (de 0 até 2).

Passo 2

Montamos o integral iterado:
integral duplaRf(x,y),dR =integralx=0^2l(integraly=x^2^2x(x^3+4y),dyr)dx

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
integraly=x^2^2x(x^3+4y),dy =l[x^3,y+2,y^2r]y=x^2^y=2x

Passo 4

Avaliaremos o resultado em y=2x e em y=x^2:
x^3(2x)-x^3(x^2)+2l((2x)^2-(x^2)^2r) =2x^4-x^5+2l(4x^2-x^4r) =2x^4-x^5+8x^2-2x^4 =-,x^5+8x^2

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 2:
integral0^2l(-x^5+8x^2r),dx =l[-tfracx^66+tfrac8x^33r]0^2 =-tfrac2^66+tfrac8cdot2^33 =-tfrac646+tfrac643 =tfrac323

Resposta

323

Exercícios relacionados