Classifique (V) ou (F), justificando as suas respostas:
(e) ( ) Se R>0 é o raio de convergência de sumn=0^+infty an x^n, então raizR é o raio de convergência de sumn=0^+infty an x^2 n.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=0^inftyanx^n
com raio de convergência R>0, e pergunta qual é o raio de convergência da série
sumn=0^inftyanx^2n
O conteúdo aqui é a definição de raio de convergência via teste da raiz (limsup) e a ideia de substituir x^2.

Passo 2

Pela definição de raio de convergência usando o teste da raiz, temos
limsupntoinfty|an|^1/n ;=;1R

Passo 3

Definimos os coeficientes da nova série como
bk = an, & se k=2n, 0, & se k é ímpar éí
Então
limsupktoinfty|bk|^1/k =maxl(limsupntoinfty|an|^1/(2n),;0r) =l(limsupntoinfty|an|^1/nr)^1/2 =1raizR

Passo 4

Pelo teste da raiz, o novo raio de convergência rho satisfaz
rho = 1limsupktoinfty|bk|^1/k = raizR
Alternativamente, note que sum anx^2n = sum any^n com y=x^2, que converge para |y|<R, ou seja |x|<raizR.

Resposta

(e) V

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