Em cada item abaixo, calcule a integral linha sobre a curva simples fechada dada, orientando positivamente. , onde é a curva obtida pela união dos gráficos e para .
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha onde é a curva fechada formada pela união dos gráficos de e para .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de linha e o Teorema de Green.
O que precisamos: Aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla, o que simplifica o cálculo para curvas fechadas.
Passo 2
Primeiro, identificamos os componentes da integral de linha:
Teoria aplicada: O Teorema de Green relaciona a integral de linha em torno de uma curva fechada à integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a região limitada pela curva . A curva é formada por e de a .
Visualização: Entre e , está acima de , formando uma “faixa” vertical.
Passo 5
Expressamos a integral dupla em termos de :
Calculamos a integral interna em relação a :
Passo 6
Substituímos de volta na integral dupla:
integral duplaD y , dA = integral0^pi 3 sin^2x2 , dx = 32 integral0^pi sin^2x , dx