Em cada item abaixo, calcule a integral linha sobre a curva simples fechada C dada, orientando C positivamente.
integralC(1+e^x^2+y^2) d x+y d y, onde C é a curva obtida pela união dos gráficos y=sen x e y=2 sen x para 0 <= x <= pi.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralC(1 + e^x^2 + y^2) dx + y dy onde C é a curva fechada formada pela união dos gráficos de y = sin x e y = 2 sin x para 0 <= x <= pi.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais de linha e o Teorema de Green.
O que precisamos: Aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla, o que simplifica o cálculo para curvas fechadas.

Passo 2

Primeiro, identificamos os componentes da integral de linha:
P(x, y) = 1 + e^x^2 + y^2 e Q(x, y) = y
Teoria aplicada: O Teorema de Green relaciona a integral de linha em torno de uma curva fechada à integral dupla sobre a região limitada por essa curva. A fórmula é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial ypartial x = 0
partial Ppartial y = partialpartial y (1 + e^x^2 + y^2) = 2y
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD (0 - 2y) dA = -2 integral duplaD y , dA

Passo 4

Agora, precisamos determinar a região D limitada pela curva C. A curva é formada por y = sin x e y = 2 sin x de 0 a pi.
Visualização: Entre 0 e pi, 2 sin x está acima de sin x, formando uma “faixa” vertical.

Passo 5

Expressamos a integral dupla em termos de x:
integral duplaD y , dA = integral0^pi integralsin x^2 sin x y , dy , dx
Calculamos a integral interna em relação a y:
integralsin x^2 sin x y , dy = y^22 |sin x^2 sin x = (2 sin x)^22 - (sin x)^22 = 4 sin^2x2 - sin^2x2 = 3 sin^2x2

Passo 6

Substituímos de volta na integral dupla:
integral duplaD y , dA = integral0^pi 3 sin^2x2 , dx = 32 integral0^pi sin^2x , dx
Sabemos que:
integral sin^2x , dx = x2 - sin(2x)4 + C

Passo 7

Calculamos a integral:
32 [ x2 - sin(2x)4 ]0^pi = 32 ( ( pi2 - sin(2pi)4 ) - ( 0 - sin(0)4 ) ) = 32 cdot pi2 = 3pi4

Passo 8

Voltando ao Teorema de Green:
ointC P , dx + Q , dy = -2 cdot 3pi4 = -3pi2

Resposta

O valor da integral de linha é -dfrac3pi2.

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