a) Se as séries sumn=1^+infty an e sumn=1^+infty bn são convergentes, então sumn=1^+infty(an+bn) e sumn=1^+infty alpha cdot an também convergem.

Passo 1

O enunciado nos dá duas séries sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn que são convergentes e pede para mostrar que
  1. sumn=1^infty (an + bn) converge, e
  2. sumn=1^infty alpha,an converge.
    Para isso, vamos usar a definição de série como limite de somas parciais e as propriedades de soma e múltiplo escalar de limites de sequência.

Passo 2

Sejam
sn = sumk=1^n ak, tn = sumk=1^n bk
Como as séries originais convergem, existem
limntoinfty sn = S e limntoinfty tn = T
para certos S,TinR.

Passo 3

Para a série sumn=1^infty (an+bn), considere a soma parcial
un = sumk=1^n (ak + bk) = sumk=1^n ak ;+; sumk=1^n bk = sn + tn
Pela propriedade de soma de limites,
limntoinfty un = limntoinfty(sn + tn) = limntoinfty sn ;+;limntoinfty tn = S + T
Logo sumn=1^infty (an + bn) converge.

Passo 4

Para a série sumn=1^infty alpha,an, considere a soma parcial
vn = sumk=1^n alpha,ak = alpha sumk=1^n ak = alpha,sn
Pela propriedade de múltiplo escalar em limites,
limntoinfty vn = limntoinfty(alpha,sn) = alpha ,limntoinfty sn = alpha,S
Logo sumn=1^infty alpha,an converge.

Resposta

Ambas as séries sumn=1^infty(an+bn) e sumn=1^infty alpha,an são convergentes.

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