a) Se as séries
e
são convergentes, então
e
também convergem.
Passo 1
O enunciado nos dá duas séries
e
que são convergentes e pede para mostrar que
-
converge, e -
converge.
Para isso, vamos usar a definição de série como limite de somas parciais e as propriedades de soma e múltiplo escalar de limites de sequência.
Passo 2
Sejam
Como as séries originais convergem, existem
para certos
.
Passo 3
Para a série
, considere a soma parcial
Pela propriedade de soma de limites,
Logo
converge.
Passo 4
Para a série
, considere a soma parcial
Pela propriedade de múltiplo escalar em limites,
Logo
converge.
Resposta
Ambas as séries
e
são convergentes.