Em cada item abaixo, calcule a integral linha sobre a curva simples fechada C dada, orientando C positivamente.
integralC(cos (x^2)-y^3) d x+(x^3+x^5 y) d y, onde C é a fronteira do semidisco D determinado pelas inequações x^2+y^2 <= 1, y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integral de linha. A gente precisa calcular a integral ao longo da curva fechada C que é a fronteira do semicírculo definido por x^2 + y^2 <= 1 e y >= 0 . Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando a resolução quando a curva é fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele estabelece que, para uma curva fechada C que delimita uma região D , a integral de linha
ointC P , dx + Q , dy
pode ser transformada em uma integral dupla sobre D :
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, temos P = cos(x^2) - y^3 e Q = x^3 + x^5 y .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 + x^5 y) = 3x^2 + 5x^4 y
partial Ppartial y = partialpartial y (cos(x^2) - y^3) = -3y^2
Agora, aplicando o Teorema de Green:
integral duplaD ( 3x^2 + 5x^4 y - (-3y^2) ) dA = integral duplaD (3x^2 + 5x^4 y + 3y^2) dA

Passo 4

A gente vai converter essa integral dupla para coordenadas polares, já que a região D é um semicírculo. Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta, y = r sintheta
e o elemento de área dA = r , dr , dtheta .
Como é um semicírculo, r vai de 0 a 1 e theta vai de 0 a pi .

Passo 5

Vamos substituir x e y na expressão da integral:
3x^2 = 3r^2 cos^2theta
5x^4 y = 5r^5 cos^4theta sintheta
3y^2 = 3r^2 sin^2theta
Então, a integral fica:
integral0^pi integral0^1 ( 3r^2 cos^2theta + 5r^5 cos^4theta sintheta + 3r^2 sin^2theta ) r , dr , dtheta
Simplificando:
integral0^pi integral0^1 ( 3r^3 cos^2theta + 5r^6 cos^4theta sintheta + 3r^3 sin^2theta ) dr , dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a r :
integral0^1 3r^3 cos^2theta , dr = 3cos^2theta [ r^44 ]0^1 = 34 cos^2theta
integral0^1 5r^6 cos^4theta sintheta , dr = 5cos^4theta sintheta [ r^77 ]0^1 = 57 cos^4theta sintheta
integral0^1 3r^3 sin^2theta , dr = 3sin^2theta [ r^44 ]0^1 = 34 sin^2theta

Passo 7

Agora, nossa integral se reduz a:
integral0^pi ( 34 cos^2theta + 57 cos^4theta sintheta + 34 sin^2theta ) dtheta
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 8

Primeiro, para 34 cos^2theta + 34 sin^2theta = 34 (cos^2theta + sin^2theta) = 34 times 1 = 34 .
Então, a integral fica:
34 integral0^pi dtheta + 57 integral0^pi cos^4theta sintheta , dtheta
Calculando a primeira parte:
34 times pi = 3pi4

Passo 9

Agora, vamos resolver 57 integral0^pi cos^4theta sintheta , dtheta . Vamos fazer uma substituição:
Deixe u = costheta , então du = -sintheta , dtheta . Quando theta = 0 , u = 1 e quando theta = pi , u = -1 .
A integral fica:
57 integral1^-1 u^4 (-du) = 57 integral-1^1 u^4 du
Calculando:
57 [ u^55 ]-1^1 = 57 ( 15 - (-1)^55 ) = 57 ( 15 + 15 ) = 57 times 25 = 27

Passo 10

Somando as duas partes da integral:
3pi4 + 27 = 21pi28 + 828 = 21pi + 828

Resposta

A integral linha vale dfrac21,pi + 828 .

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