Em cada item abaixo, calcule a integral linha sobre a curva simples fechada
dada, orientando
positivamente.
, onde
é a fronteira do semidisco
determinado pelas inequações
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integral de linha. A gente precisa calcular a integral ao longo da curva fechada
que é a fronteira do semicírculo definido por
e
. Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas, facilitando a resolução quando a curva é fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele estabelece que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, a integral de linha
pode ser transformada em uma integral dupla sobre
:
No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Passo 4
A gente vai converter essa integral dupla para coordenadas polares, já que a região
é um semicírculo. Em coordenadas polares, temos:
e o elemento de área
.
Como é um semicírculo,
vai de 0 a 1 e
vai de 0 a
.
Passo 5
Vamos substituir
e
na expressão da integral:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
Passo 7
Agora, nossa integral se reduz a:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 8
Primeiro, para
.
Então, a integral fica:
Calculando a primeira parte:
Passo 9
Agora, vamos resolver
. Vamos fazer uma substituição:
Deixe , então
. Quando
,
e quando
,
.
Deixe
A integral fica:
Calculando:
Passo 10
Somando as duas partes da integral:
Resposta
A integral linha vale
.