a) sumn=1^+infty 12^n(1+1n)^n^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^+infty an, onde an = 12^nl(1+1nr)^n^2
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos, e vamos usar o Teste da Raiz (Cauchy).

Passo 2

Recordando o Teste da Raiz: se
L = limntoinfty raiz[n]an,
então, se L<1 a série converge, se L>1 diverge, e se L=1 dá caso inconclusivo.

Passo 3

Calculemos raiz[n]an. Temos
raiz[n]an = raiz[n]12^n;cdot;raiz[n]l(1+1nr)^n^2 = 12;cdot;l(1+1nr)^n

Passo 4

Lembremos que
limntoinftyl(1+1nr)^n = e
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L = limntoinftyraiz[n]an = 12cdot e = e2

Passo 5

Como eapprox2,718, temos
e2approx1,359 > 1
Pelo Teste da Raiz, a série diverge, pois o limite da raiz L é maior que 1.

Resposta

A série diverge.

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