Refaça o exercício 1 (a) da lista 3 , usando o teorema de Green: Calcule integralC F cdot d r, onde F é o campo vetorial no plano x y definido por F(x, y)=(x+e^y^2) i+(y+arctg(x^3)) j e C é a fronteira do quadrado com vértices (0,0),(1,0),(1,1),(0,1), orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial F(x, y) = (x + e^y^2) i + (y + arctan(x^3)) j. O caminho C é a fronteira de um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), orientado positivamente (ou seja, no sentido anti-horário). Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso, que vai transformar nossa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema de Green. Ele conecta a integral de linha ao redor de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região D limitada por C. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dx , dy
Aqui, F = Mi + Nj. No nosso caso, M = x + e^y^2 e N = y + arctan(x^3).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de N em relação a x:
partial Npartial x = ddx( y + arctan(x^3) ) = 0 + 3x^21 + x^6 = 3x^21 + x^6
Agora, a derivada de M em relação a y:
partial Mpartial y = ddy( x + e^y^2 ) = 0 + 2y e^y^2 = 2y e^y^2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( 3x^21 + x^6 - 2y e^y^2 ) dx , dy

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão sobre a região D, que é o quadrado de 0 a 1 em x e de 0 a 1 em y:
integral duplaD ( 3x^21 + x^6 - 2y e^y^2 ) dx , dy = 3 integral0^1 integral0^1 x^21 + x^6 dx , dy - 2 integral0^1 integral0^1 y e^y^2 dx , dy
Note que as integrais em x e y são separáveis.

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro, a integral de x:
integral0^1 x^21 + x^6 dx
Fazendo a substituição u = x^3, então du = 3x^2 dx, ou seja, x^2 dx = du3. A integral fica:
13 integral0^1 11 + u^2 du = 13 [ arctan(u) ]0^1 = 13 ( pi4 - 0 ) = pi12

Passo 7

Agora, a integral de y:
integral0^1 y e^y^2 dy
Fazendo a substituição v = y^2, então dv = 2y dy, ou seja, y dy = dv2. A integral fica:
12 integral0^1 e^v dv = 12 [ e^v ]0^1 = 12 (e - 1)

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão original:
3 times pi12 - 2 times 12 (e - 1) = pi4 - (e - 1) = 1 + pi4 - e

Resposta

A integral de linha é 1 + dfracpi4 - e.

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