Refaça o exercício 1 (a) da lista 3 , usando o teorema de Green: Calcule
, onde
é o campo vetorial no plano
definido por
e
é a fronteira do quadrado com vértices
, orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
. O caminho
é a fronteira de um quadrado com vértices em
,
,
e
, orientado positivamente (ou seja, no sentido anti-horário). Vamos usar o Teorema de Green para resolver isso, que vai transformar nossa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que diz o Teorema de Green. Ele conecta a integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula é:
Aqui,
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão sobre a região
, que é o quadrado de
a
em
e de
a
em
:
Note que as integrais em
e
são separáveis.
Passo 6
Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiro, a integral de
:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 7
Agora, a integral de
:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 8
Substituindo os resultados das integrais de volta na expressão original:
Resposta
A integral de linha é
.