Para cada item abaixo, calcule todas as derivadas parciais de 1^a. ordem.
h) f(x, y, z)=8 e^x-y cdot cos (y+z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y, z) = 8 e^x-y cdot cos(y + z) . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas em relação a cada uma das variáveis x , y e z .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , que chamamos de fx . Isso significa que vamos tratar y e z como constantes e derivar apenas em relação a x .
A função é f(x, y, z) = 8 e^x-y cdot cos(y + z) .
Ao derivar em relação a x , a parte que envolve x é e^x - y . A derivada de e^x - y em relação a x é simplesmente e^x - y , porque a derivada de e^u em relação a u é e^u , e aqui u = x - y .
Portanto,
fx = 8 e^x - y cdot cos(y + z)

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , que chamamos de fy . Aqui, tratamos x e z como constantes e derivamos em relação a y .
Temos:
f(x, y, z) = 8 e^x - y cdot cos(y + z)
Vamos usar a regra do produto, já que temos um produto de duas funções que dependem de y :
fy = 8 ( partialpartial y e^x - y cdot cos(y + z) + e^x - y cdot partialpartial y cos(y + z) )
Calculando cada derivada:
partialpartial y e^x - y = -e^x - y
partialpartial y cos(y + z) = -sin(y + z)
Substituindo de volta:
fy = 8 ( -e^x - y cdot cos(y + z) + e^x - y cdot (-sin(y + z)) )
fy = -8 e^x - y cdot cos(y + z) - 8 e^x - y cdot sin(y + z)
fy = -8 e^x - y ( cos(y + z) + sin(y + z) )

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a z , que chamamos de fz . Aqui, tratamos x e y como constantes e derivamos em relação a z .
A função é:
f(x, y, z) = 8 e^x - y cdot cos(y + z)
A única parte que depende de z é cos(y + z) . A derivada de cos(y + z) em relação a z é -sin(y + z) .
Então,
fz = 8 e^x - y cdot (-sin(y + z))
fz = -8 e^x - y cdot sin(y + z)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y, z) = 8 e^x-y cdot cos(y + z) são:
fx = 8 e^x - y cdot cos(y + z)
fy = -8 e^x - y ( cos(y + z) + sin(y + z) )
fz = -8 e^x - y cdot sin(y + z)

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