Para cada item abaixo, calcule todas as derivadas parciais de
. ordem.
h)
.
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções que envolvem exponenciais e funções trigonométricas em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Isso significa que vamos tratar
e
como constantes e derivar apenas em relação a
.
A função é
.
Ao derivar em relação a
, a parte que envolve
é
. A derivada de
em relação a
é simplesmente
, porque a derivada de
em relação a
é
, e aqui
.
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Aqui, tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
.
Temos:
Vamos usar a regra do produto, já que temos um produto de duas funções que dependem de
:
Calculando cada derivada:
Substituindo de volta:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Aqui, tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
.
A função é:
A única parte que depende de
é
. A derivada de
em relação a
é
.
Então,
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: