Para cada item abaixo,
(i) determine o domínio da função;
(ii) escreva a equaç̧ão para as superfícies de nível da função;
(iii) Faça um esboço no espaço xyz das superfícies de nível.
b)
, superfícies de nível
.
(i) determine o domínio da função;
(ii) escreva a equaç̧ão para as superfícies de nível da função;
(iii) Faça um esboço no espaço xyz das superfícies de nível.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar a função
em três etapas: encontrar o domínio da função, escrever as equações das superfícies de nível para
, e fazer um esboço dessas superfícies no espaço
. Para isso, vamos precisar entender sobre funções de várias variáveis e superfícies de nível, que são basicamente conjuntos de pontos que dão o mesmo valor para a função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de
,
e
que a função pode aceitar.
A função
é uma soma de termos quadrados. Como os quadrados de números reais sempre dão resultados positivos ou zero, não há restrições para
,
ou
. Portanto, o domínio da função é todo o espaço tridimensional, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação das superfícies de nível para
. As superfícies de nível são encontradas definindo
.
-
Para
: A única solução possível é, e . Portanto, para , a superfície de nível é apenas o ponto . -
Para
: Essa equação representa uma elipsoide. Cada termo quadrático está associado a um eixo diferente. -
Para
: Assim como para, essa também é uma elipsoide, mas maior, já que aumentou.
Passo 4
Por fim, vamos fazer um esboço das superfícies de nível no espaço
:
- Para
, temos um único ponto no centro do sistema de coordenadas. - Para
e , temos duas elipsoides. A elipsoide para será maior que a de . As elipsoides são alongadas de acordo com os coeficientes dos termos quadráticos: mais alongadas no eixo onde o coeficiente é menor. Nesse caso, o eixo será mais alongado, seguido por e menos por .
Resposta
i) Domínio da função: [\mathbb{R}^3) (todos os números reais para
,
e
).
ii) Equações das superfícies de nível:
iii) Esboço das superfícies de nível:
- Para e
, duas elipsoides, sendo a de maior que a de , ambas alongadas no eixo , seguidas por e menos por .