Para cada item abaixo,
(i) determine o domínio da função;
(ii) escreva a equaç̧ão para as superfícies de nível da função;
(iii) Faça um esboço no espaço xyz das superfícies de nível.
b) f(x, y, z)=x^2+2 y^2+3 z^2, superfícies de nível k=0,1 e 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar a função f(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 em três etapas: encontrar o domínio da função, escrever as equações das superfícies de nível para k = 0, 1, 2 , e fazer um esboço dessas superfícies no espaço xyz . Para isso, vamos precisar entender sobre funções de várias variáveis e superfícies de nível, que são basicamente conjuntos de pontos que dão o mesmo valor para a função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de x , y e z que a função pode aceitar.
A função f(x, y, z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 é uma soma de termos quadrados. Como os quadrados de números reais sempre dão resultados positivos ou zero, não há restrições para x , y ou z . Portanto, o domínio da função é todo o espaço tridimensional, ou seja, R^3 .

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação das superfícies de nível para k = 0, 1, 2 . As superfícies de nível são encontradas definindo f(x, y, z) = k .
  1. Para k = 0 :
    x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 0
    A única solução possível é x = 0 , y = 0 e z = 0 . Portanto, para k = 0 , a superfície de nível é apenas o ponto (0, 0, 0) .
  2. Para k = 1 :
    x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 1
    Essa equação representa uma elipsoide. Cada termo quadrático está associado a um eixo diferente.
  3. Para k = 2 :
    x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 2
    Assim como para k = 1 , essa também é uma elipsoide, mas maior, já que k aumentou.

Passo 4

Por fim, vamos fazer um esboço das superfícies de nível no espaço xyz :
  • Para k = 0 , temos um único ponto no centro do sistema de coordenadas.
  • Para k = 1 e k = 2 , temos duas elipsoides. A elipsoide para k = 2 será maior que a de k = 1 . As elipsoides são alongadas de acordo com os coeficientes dos termos quadráticos: mais alongadas no eixo onde o coeficiente é menor. Nesse caso, o eixo x será mais alongado, seguido por y e menos por z .

Resposta

i) Domínio da função: [\mathbb{R}^3) (todos os números reais para , e ).
ii) Equações das superfícies de nível:
iii) Esboço das superfícies de nível:
  • Para e , duas elipsoides, sendo a de maior que a de , ambas alongadas no eixo , seguidas por e menos por .

Exercícios relacionados