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Data de entregue: 26/01/2025
Observações: No máximo quatro perguntas desta lista (talvez com pequenas mudanças) serão escolhidas para fazer parte da quarta avaliação que será aplicada no 27/01/2025.
As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético B, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
ll nabla cdot E=0 & nabla cdot B=0 nabla times E=-1c partial Bpartial t & nabla times B=1c partial Epartial t
onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
nabla times(nabla times E)=-1c^2 partial^2 Epartial^2 t

Passo 1

O enunciado nos dá as equações de Maxwell em região sem cargas nem correntes, ou seja
nablacdotE=0, nablacdotB=0, nablatimesE=-1c,partialBpartial t, nablatimesB=1c,partialEpartial t
Queremos mostrar que
nablatimesl(nablatimesEr) =-1c^2partial^2Epartial t^2

Passo 2

Aplicamos o operador rot (curl) à terceira equação de Maxwell, isto é, fazemos
nabla times l( nabla times E r) = nabla times l(-1c , partial Bpartial t r) = -1c , partialpartial t l( nabla times B r),
pois o operador espacial nabla times e a derivada temporal partial/partial t comutam.

Passo 3

Substituímos a quarta equação de Maxwell, nabla times B = tfrac1c , tfracpartial Epartial t, na expressão acima:
nabla times l( nabla times E r) = -1c , partialpartial t l( 1c , partial Epartial t r) = -1c^2 , partial^2 Epartial t^2

Resposta

nablatimesl(nablatimesEr) =-1c^2,partial^2Epartial t^2

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