Para cada item abaixo,
(i) determine o domínio da função;
(ii) escreva a equaç̧ão para as superfícies de nível da função;
(iii) Faça um esboço no espaço xyz das superfícies de nível.
a)
, superfícies de nível
e 2$.
(i) determine o domínio da função;
(ii) escreva a equaç̧ão para as superfícies de nível da função;
(iii) Faça um esboço no espaço xyz das superfícies de nível.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função
. Vamos precisar entender sobre domínio de função, superfícies de nível e como esboçá-las no espaço tridimensional (xyz). Vou te guiar passo a passo para deixar tudo bem claro.
Passo 2
i) Determinar o domínio da função
Primeiro, o domínio de uma função são todos os valores de
,
e
para os quais a função está definida. Olhando para
, temos uma raiz quadrada no denominador.
A raiz quadrada está definida apenas para números não negativos, ou seja,
. Além disso, como está no denominador,
não pode ser zero para evitar divisão por zero.
Portanto, o domínio é todos os pontos
no espaço tridimensional onde
.
Dominio:
menos o ponto
.
Passo 3
ii) Escrever a equação para as superfícies de nível da função
Superfícies de nível são onde a função assume um valor constante
. Então, para
:
Para resolver isso, vamos isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Essa é a equação de uma esfera com raio
e centro na origem.
Equação das superfícies de nível:
Passo 4
iii) Esboçar no espaço xyz das superfícies de nível
Como vimos, cada superfície de nível é uma esfera centrada na origem com raio
. Vamos considerar os diferentes valores de
:
-
Para
: Então, é uma esfera de raio 2. -
Para
: Uma esfera de raio 1. -
Para
: Uma esfera de raio 0.5.
Esboço das superfícies de nível:
Imagine três esferas concêntricas (com o mesmo centro na origem) com raios 2, 1 e 0.5 unidades, correspondendo aos valores de ,
e
, respectivamente.
Imagine três esferas concêntricas (com o mesmo centro na origem) com raios 2, 1 e 0.5 unidades, correspondendo aos valores de
Resposta
Dominio: Todos os pontos
no espaço tridimensional exceto o ponto (0, 0, 0).
Equação das superfícies de nível:
Esboço das superfícies de nível: Três esferas concêntricas centradas na origem, com raios 2, 1 e 0.5 unidades para
,
e
, respectivamente.