Para cada item abaixo,
(i) determine o domínio da função;
(ii) escreva a equaç̧ão para as superfícies de nível da função;
(iii) Faça um esboço no espaço xyz das superfícies de nível.
a) f(x, y, z)=1raizx^2+y^2+z^2, superfícies de nível k=1 / 2,1 e 2$.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a função f(x, y, z) = 1raizx^2 + y^2 + z^2 . Vamos precisar entender sobre domínio de função, superfícies de nível e como esboçá-las no espaço tridimensional (xyz). Vou te guiar passo a passo para deixar tudo bem claro.

Passo 2

i) Determinar o domínio da função
Primeiro, o domínio de uma função são todos os valores de x , y e z para os quais a função está definida. Olhando para f(x, y, z) = 1raizx^2 + y^2 + z^2 , temos uma raiz quadrada no denominador.
A raiz quadrada está definida apenas para números não negativos, ou seja, x^2 + y^2 + z^2 >= 0 . Além disso, como está no denominador, raizx^2 + y^2 + z^2 não pode ser zero para evitar divisão por zero.
Portanto, o domínio é todos os pontos (x, y, z) no espaço tridimensional onde x^2 + y^2 + z^2 > 0 .
Dominio: R^3 menos o ponto (0, 0, 0) .

Passo 3

ii) Escrever a equação para as superfícies de nível da função
Superfícies de nível são onde a função assume um valor constante k . Então, para f(x, y, z) = k :
1raizx^2 + y^2 + z^2 = k
Para resolver isso, vamos isolar raizx^2 + y^2 + z^2 :
raizx^2 + y^2 + z^2 = 1k
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2 + y^2 + z^2 = ( 1k )^2
Essa é a equação de uma esfera com raio 1k e centro na origem.
Equação das superfícies de nível: x^2 + y^2 + z^2 = ( 1k )^2

Passo 4

iii) Esboçar no espaço xyz das superfícies de nível
Como vimos, cada superfície de nível é uma esfera centrada na origem com raio 1k . Vamos considerar os diferentes valores de k :
  • Para k = 12 :
    x^2 + y^2 + z^2 = ( 112 )^2 = (2)^2 = 4
    Então, é uma esfera de raio 2.
  • Para k = 1 :
    x^2 + y^2 + z^2 = ( 11 )^2 = 1
    Uma esfera de raio 1.
  • Para k = 2 :
    x^2 + y^2 + z^2 = ( 12 )^2 = 14
    Uma esfera de raio 0.5.
Esboço das superfícies de nível:
Imagine três esferas concêntricas (com o mesmo centro na origem) com raios 2, 1 e 0.5 unidades, correspondendo aos valores de k = 12 , k = 1 e k = 2 , respectivamente.

Resposta

Dominio: Todos os pontos (x, y, z) no espaço tridimensional exceto o ponto (0, 0, 0).
Equação das superfícies de nível: x^2 + y^2 + z^2 = ( 1k )^2
Esboço das superfícies de nível: Três esferas concêntricas centradas na origem, com raios 2, 1 e 0.5 unidades para k = 12 , k = 1 e k = 2 , respectivamente.

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