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Data de entregue: 26/01/2025
Observações: No máximo quatro perguntas desta lista (talvez com pequenas mudanças) serão escolhidas para fazer parte da quarta avaliação que será aplicada no 27/01/2025.
As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico
e o campo magnético
, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
Observações: No máximo quatro perguntas desta lista (talvez com pequenas mudanças) serão escolhidas para fazer parte da quarta avaliação que será aplicada no 27/01/2025.
As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar as Equações de Maxwell em uma região sem carga nem corrente para demonstrar uma relação envolvendo o campo magnético
. A matéria envolve cálculo vetorial e eletromagnetismo, especificamente o uso das Equações de Maxwell. Para resolver isso, vamos precisar aplicar algumas identidades vetoriais e manipular as equações fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a identidade vetorial para o “nabla cruzado” de um “nabla cruzado” é dada por:
Essa identidade nos ajuda a simplificar expressões envolvendo duas operações de “nabla cruzado”.
Passo 3
Agora, olhando para as Equações de Maxwell fornecidas, vemos que
. Isso significa que a divergência do campo magnético é zero em regiões sem corrente ou carga. Substituindo isso na identidade que usamos:
Passo 4
Vamos focar agora na Equação de Maxwell que relaciona o “nabla cruzado” de
com a derivada temporal do campo elétrico
:
Vamos derivar essa equação em relação ao tempo para ligar com a expressão que estamos buscando.
Passo 5
Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo:
Aplicando a derivada no lado esquerdo usando as propriedades dos operadores diferenciais.
Passo 6
Agora, vamos usar a outra Equação de Maxwell que relaciona o “nabla cruzado” de
com a derivada temporal de
:
Podemos derivar essa equação em relação ao tempo também para encontrar uma relação com
.
Passo 7
Derivando a Equação de Maxwell em relação ao tempo:
Agora, substituímos essa expressão na equação derivada no Passo 5.
Passo 8
Substituindo a expressão do Passo 7 na equação do Passo 5:
Simplificando os termos:
Passo 9
Lembrando do que obtivemos no Passo 3:
Portanto, temos que:
Resposta
Demonstramos que: