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Data de entregue: 26/01/2025
Observações: No máximo quatro perguntas desta lista (talvez com pequenas mudanças) serão escolhidas para fazer parte da quarta avaliação que será aplicada no 27/01/2025.
As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético B, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
ll nabla cdot E=0 & nabla cdot B=0 nabla times E=-1c partial Bpartial t & nabla times B=1c partial Epartial t
onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:
nabla times(nabla times B)=-1c^2 partial^2 Bpartial^2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar as Equações de Maxwell em uma região sem carga nem corrente para demonstrar uma relação envolvendo o campo magnético B. A matéria envolve cálculo vetorial e eletromagnetismo, especificamente o uso das Equações de Maxwell. Para resolver isso, vamos precisar aplicar algumas identidades vetoriais e manipular as equações fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a identidade vetorial para o “nabla cruzado” de um “nabla cruzado” é dada por:
nabla times (nabla times B) = nabla(nabla cdot B) - nabla^2 B
Essa identidade nos ajuda a simplificar expressões envolvendo duas operações de “nabla cruzado”.

Passo 3

Agora, olhando para as Equações de Maxwell fornecidas, vemos que nabla cdot B = 0. Isso significa que a divergência do campo magnético é zero em regiões sem corrente ou carga. Substituindo isso na identidade que usamos:
nabla times (nabla times B) = nabla(0) - nabla^2 B = -nabla^2 B

Passo 4

Vamos focar agora na Equação de Maxwell que relaciona o “nabla cruzado” de B com a derivada temporal do campo elétrico E:
nabla times B = 1c partial Epartial t
Vamos derivar essa equação em relação ao tempo para ligar com a expressão que estamos buscando.

Passo 5

Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo:
partialpartial t (nabla times B) = 1c partial^2 Epartial t^2
Aplicando a derivada no lado esquerdo usando as propriedades dos operadores diferenciais.

Passo 6

Agora, vamos usar a outra Equação de Maxwell que relaciona o “nabla cruzado” de E com a derivada temporal de B:
nabla times E = -1c partial Bpartial t
Podemos derivar essa equação em relação ao tempo também para encontrar uma relação com B.

Passo 7

Derivando a Equação de Maxwell em relação ao tempo:
partialpartial t (nabla times E) = -1c partial^2 Bpartial t^2
Agora, substituímos essa expressão na equação derivada no Passo 5.

Passo 8

Substituindo a expressão do Passo 7 na equação do Passo 5:
partialpartial t (nabla times B) = 1c ( -1c partial^2 Bpartial t^2 )
Simplificando os termos:
partialpartial t (nabla times B) = -1c^2 partial^2 Bpartial t^2

Passo 9

Lembrando do que obtivemos no Passo 3:
nabla times (nabla times B) = -nabla^2 B = -1c^2 partial^2 Bpartial t^2
Portanto, temos que:
nabla times (nabla times B) = -1c^2 partial^2 Bpartial t^2

Resposta

Demonstramos que:
nabla times(nabla times B)=-1c^2 partial^2 Bpartial t^2

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