Para cada item abaixo, calcule o valor da integral.
integral0^pi integral0^pi x sen(x^2+y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = integraly=0^piintegralx=0^pi x,senl(x^2+yr),dx,dy
O conteúdo principal aqui é integração iterada e uso de substituição para integrar em x.

Passo 2

Vamos primeiro integrar em x, tratando y como constante. Fazemos a substituição
u = x^2+y, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Quando x=0, u=y; quando x=pi, u=pi^2+y. Logo,
integral0^pi x,senl(x^2+yr),dx = 12integralu=y^u=pi^2+ysen(u),du = 12l[-cos(u)r]y^pi^2+y = 12l(cos(y)-cos(pi^2+y)r)

Passo 3

Substituindo esse resultado em I, obtemos
I = integral0^pi12l(cos(y)-cos(pi^2+y)r),dy = 12integral0^picos(y),dy - 12integral0^picos(pi^2+y),dy

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente. Primeiro,
integral0^picos(y),dy = l[sin(y)r]0^pi = sin(pi)-sin(0) = 0
Para a segunda, fazemos t=pi^2+y, dt=dy, e t vai de pi^2 a pi^2+pi:
integral0^picos(pi^2+y),dy = integralpi^2^pi^2+picos(t),dt = l[sin(t)r]pi^2^pi^2+pi = sin(pi^2+pi)-sin(pi^2)

Passo 5

Juntando tudo,
I = 12l(0r) - 12l(sin(pi^2+pi)-sin(pi^2)r) = -12sin(pi^2+pi) + 12sin(pi^2)
Usando sin(a+pi)=-sin(a) com a=pi^2, vem
-tfrac12sin(pi^2+pi) = -tfrac12l(-sin(pi^2)r) = tfrac12sin(pi^2),
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I = tfrac12sin(pi^2) + tfrac12sin(pi^2) = sin(pi^2)

Resposta

sinl(pi^2r)

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