Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto Pf quando
f(x, y)=3 y^2-2 x^2+x e P=(2,-1,-3).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=3y^2-2x^2+x
e pede a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto
P=(2,-1,-3),
que satisfaz z=f(2,-1)=-3.
O conteúdo aqui é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente de uma superfície definida por z=f(x,y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(3y^2-2x^2+xr)=-4x+1,
fy(x,y)=partialpartial yl(3y^2-2x^2+xr)=6y

Passo 3

Avaliamos as derivadas em (x0,y0)=(2,-1):
fx(2,-1)=-4cdot2+1=-8+1=-7,
fy(2,-1)=6cdot(-1)=-6

Passo 4

Usamos a fórmula do plano tangente
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0),
substituindo z0=-3, x0=2, y0=-1, fx(2,-1)=-7 e fy(2,-1)=-6:
z + 3 = -7,(x-2);-;6,(y+1)

Resposta

Uma forma simplificada do plano é
z = -7x ;-;6y ;+;5

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