Em cada item abaixo, dê as condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
lx-b y=-1 a x+2 y=5

Passo 1

O enunciado dá o sistema de duas equações lineares em
O conteúdo necessário é a classificação de sistemas (2\times2] usando o determinante da matriz de coeficientes e, no caso de determinante zero, a análise de proporcionalidade entre as equações para distinguir sistemas compatíveis e incompatíveis.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
A = 1 & -b a & 2, De<a = det(A) = 1cdot2 - (-b)cdot a = 2 + a,b
Se De<aneq0, a matriz é invertível e o sistema tem solução única. Logo:
solução única ;Long<=ftrightarrow; 2 + a,b neq 0 çãú

Passo 3

Se De<a=0, isto é a,b = -2, as equações podem ser proporcionais (infinitas soluções) ou não (nenhuma solução). Para verificar, buscamos lambda tal que
(a,x + 2y = 5) = lambda,(x - b,y = -1)
Isto exige
a = lambda, 2 = -lambda,b, 5 = -lambda
De 5 = -lambda segue lambda = -5, então a = -5. Também 2 = -(-5),b leva a b = tfrac25. Assim, quando
a,b = -2 e (a,b)=l(-5,tfrac25r),
as duas equações são múltiplas uma da outra e há infinitas soluções. Para qualquer outro par (a,b) com a,b=-2, a proporcionalidade falha na parte dos termos constantes e o sistema fica incompatível (nenhuma solução).

Resposta

Solução única: a,b neq -2.
Nenhuma solução: a,b = -2 e (a,b)neq(-5,tfrac25).
Infinitas soluções: a = -5 e b = tfrac25.

Exercícios relacionados