Em cada item abaixo, dê as condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de duas equações lineares em
O conteúdo necessário é a classificação de sistemas (2\times2] usando o determinante da matriz de coeficientes e, no caso de determinante zero, a análise de proporcionalidade entre as equações para distinguir sistemas compatíveis e incompatíveis.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
Se
, a matriz é invertível e o sistema tem solução única. Logo:
Passo 3
Se
, isto é
, as equações podem ser proporcionais (infinitas soluções) ou não (nenhuma solução). Para verificar, buscamos
tal que
Isto exige
De
segue
, então
. Também
leva a
. Assim, quando
as duas equações são múltiplas uma da outra e há infinitas soluções. Para qualquer outro par
com
, a proporcionalidade falha na parte dos termos constantes e o sistema fica incompatível (nenhuma solução).
Resposta
Solução única:
.
Nenhuma solução: e
.
Infinitas soluções: e
.
Nenhuma solução:
Infinitas soluções: