Em cada item abaixo, dê as condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
lx+a y=0 y+b z=0 c x+z=-0

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
x + a,y = 0, y + b,z = 0, c,x + z = 0,
com incógnitas x,y,z e parâmetros a,b,c. O conteúdo é resolução de sistemas lineares e a condição de existência e unicidade de soluções, que passa pelo cálculo do determinante da matriz de coeficientes.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de coeficientes A e aplicar o critério de Cramer (ou analisar o determinante para sistemas homogêneos):
A = 1 & a & 0 0 & 1 & b c & 0 & 1
Para um sistema homogêneo A,x=0, sabemos que:
  • se det(A)neq 0, só existe a solução trivial (0,0,0) (solução única);
  • se det(A)=0, existem infinitas soluções (o sistema é sempre compatível).

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet!1 & b 0 & 1 - acdotdet!0 & b c & 1 +0cdot(cdots)
Isto é,
det(A) = 1cdot(1cdot1 - bcdot0) - acdot(0cdot1 - bcdot c) = 1 - acdot(-b,c) = 1 + a,b,c

Passo 4

Com det(A)=1+abc:
  • Se 1 + a,b,c neq 0, então det(A)neq0 e o sistema só tem a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0) — solução única.
  • Se 1 + a,b,c = 0, então det(A)=0 e, sendo o sistema homogêneo, ele é compatível com infinitas soluções.
  • Não há como o sistema homogêneo ser incompatível, logo “nenhuma solução” nunca ocorre.

Resposta

Solução única se
1 + a,b,c neq 0
Infinitas soluções se
1 + a,b,c = 0
Nenhuma solução: impossível (sistema homogêneo é sempre compatível).

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