Em cada item abaixo, dê as condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
x + a,y - z = 0, -,x + (a-2),y + z = b, 2,x + 2,y + (a-2),z = c,
e pede as condições sobre ,a, ,b e ,c para que o sistema tenha solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e, quando ele for zero, checar a consistência.
Para ter solução única é preciso det(A)neq0, isto é
aneq0 e aneq1
Passo 4
Quando det(A)=0 temos a=0 ou a=1. Nesses casos a matriz de coeficientes é singular e precisamos checar a consistência para decidir entre nenhuma solução ou infinitas soluções.
Passo 5
Caso
Da primeira equação vem , sobra a variável livre e há infinitas soluções. Se , o sistema é inconsistente (nenhuma solução).
Passo 6
Caso
Somando as duas primeiras equações obtemos
logo é necessário , sobra um grau de liberdade em (ou ) e há infinitas soluções. Se , o sistema é inconsistente.
Resposta
Solução única: aneq0 e aneq1.
Infinitas soluções: l(a=0 e c=-br) ou l(a=1 e b=0r).
Nenhuma solução: l(a=0 e cneq -br) ou l(a=1 e bneq0r).