Em cada item abaixo, dê as condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
lx+a y-z=0 -x+(a-2) y+z=-1 2 x+2 y+(a-2) z=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x + a,y - z = 0, -,x + (a-2),y + z = b, 2,x + 2,y + (a-2),z = c,
e pede as condições sobre ,a, ,b e ,c para que o sistema tenha solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Vamos usar o determinante da matriz de coeficientes e, quando ele for zero, checar a consistência.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & a & -1 -1 & a-2 & 1 2 & 2 & a-2
e calculamos
det(A) =1cdotdeta-2&12&a-2 - acdotdet-1&12&a-2 -1cdotdet-1&a-22&2 =2,a,(a-1)

Passo 3

Para ter solução única é preciso det(A)neq0, isto é
aneq0 e aneq1

Passo 4

Quando det(A)=0 temos a=0 ou a=1. Nesses casos a matriz de coeficientes é singular e precisamos checar a consistência para decidir entre nenhuma solução ou infinitas soluções.

Passo 5

Caso
Da primeira equação vem , sobra a variável livre e há infinitas soluções. Se , o sistema é inconsistente (nenhuma solução).

Passo 6

Caso
Somando as duas primeiras equações obtemos
logo é necessário , sobra um grau de liberdade em (ou ) e há infinitas soluções. Se , o sistema é inconsistente.

Resposta

Solução única:
aneq0 e aneq1.
Infinitas soluções:
l(a=0 e c=-br) ou l(a=1 e b=0r).
Nenhuma solução:
l(a=0 e cneq -br) ou l(a=1 e bneq0r).

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