Em cada item abaixo, dê as condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
lx+2 y-4 z=4 3 x-y+13 z=2 4 x+y+a^2 z=a+3

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
x + 2y - 4z = 4, 3x - y + 13z = 2, 4x + y + a^2z = a + 3,
e pede que a gente determine para quais valores de a o sistema terá solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
O conteúdo envolvido é o estudo de sistemas lineares via determinante da matriz de coeficientes e o Teorema de Rouché–Frobenius, isto é, deter­minamos quando a matriz é invertível (solução única) e, se não for, examinamos a consistência (nenhuma ou infinitas soluções).

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & -4 3 & -1 & 13 4 & 1 & a^2
e calculamos seu determinante. Por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!-1 & 131 & a^2 -2cdotdet!3 & 134 & a^2 -4cdotdet!3 & -14 & 1
Calculando cada menor:
det!-1 & 131 & a^2 =-a^2-13, det!3 & 134 & a^2 =3a^2-52, det!3 & -14 & 1 =3+4=7
Logo,
det(A) =(-a^2-13)-2(3a^2-52)-4cdot7 =-a^2-13-6a^2+104-28 =-7a^2+63 =-7,(a^2-9) =-7,(a-3),(a+3)

Passo 3

Como det(A)neq0 se, e somente se, aneq3 e aneq-3, concluímos pelo Teorema de Cramer que:
  • Se aneqpm3, o sistema tem solução única.
    Quando a=pm3, a matriz fica singular e precisamos checar consistência.

Passo 4

Para a=3 a terceira equação vira
4x+y+9z=3+3=6
Verificamos se ela é combinação linear das duas primeiras. Buscamos alpha,beta tais que
alpha,(x+2y-4z)+beta,(3x-y+13z) =(4x+y+9z)
O sistema para alpha,beta nos coeficientes de x,y alpha+3beta=4 e 2alpha-beta=1, cuja solução é alpha=1,beta=1. Com isso o termo em z fica -4+13=9 e o termo independente alphacdot4+betacdot2=6, exatamente igual ao da terceira equação. Portanto, quando a=3 as três equações são compatíveis e há infinitas soluções.

Passo 5

Para a=-3 a terceira equação é
4x+y+9z=-3+3=0
Reaplicando alpha=1,beta=1 (mesma combinação que dá os coeficientes de x,y,z), o termo independente viria 4+2=6neq0. Isso gera inconsistência, logo não há nenhuma solução quando a=-3.

Resposta

Solução única para aneqpm3.
Infinitas soluções para a=3.
Nenhuma solução para a=-3.

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