Para cada item abaixo, considere a curva definida pela equação em 2 variáveis. Determine a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva no ponto dado. Use um software de computação científica para construir o gráfico da curva e da reta tangente. Dica: associe uma função de 2 variáveis com a curva, considerando a curva dada como uma curva de nível desta função.
a) Curva x^2+y^2=4, ponto P0(1, raiz 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com curvas definidas por equações de duas variáveis, especificamente a circunferência x^2 + y^2 = 4 . Nosso objetivo aqui é encontrar as equações da reta tangente e da reta normal a essa curva no ponto P0(1, raiz3) . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas implícitas e entender como elas nos ajudam a determinar a inclinação das retas tangente e normal.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a curva a uma função de duas variáveis. Podemos reescrever a equação da curva como uma função de nível: f(x, y) = x^2 + y^2 - 4 = 0 . Isso significa que qualquer ponto (x, y) que satisfaz essa equação está na curva.

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos determinar a inclinação dessa reta no ponto P0(1, raiz3) . Para isso, vamos usar a derivada implícita.
A derivada implícita nos permite encontrar dydx a partir de uma equação que relaciona x e y sem isolar uma das variáveis. Vamos derivar ambos os lados da equação x^2 + y^2 = 4 em relação a x :
ddx(x^2) + ddx(y^2) = ddx(4) 2x + 2y dydx = 0
Agora, resolvendo para dydx :
2y dydx = -2x dydx = -xy

Passo 4

Com a expressão para dydx = -xy , vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto P0(1, raiz3) :
dydx|(1, raiz3) = -1raiz3 = -raiz33
Então, a inclinação da reta tangente é mtan>=nte = -raiz33 .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente conhecida, podemos encontrar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:
y - y0 = mtan>=nte(x - x0)
Substituindo os valores:
y - raiz3 = -raiz33(x - 1)

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação da reta tangente:
y - raiz3 = -raiz33x + raiz33 y = -raiz33x + raiz33 + raiz3 y = -raiz33x + 4raiz33
Então, a equação da reta tangente é:
y = -raiz33x + 4raiz33

Passo 7

Para encontrar a reta normal, precisamos da inclinação que é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
mnormal = -(1mtan>=nte) = -(1-raiz33) = raiz3

Passo 8

Agora, usamos a fórmula ponto-inclinação novamente para a reta normal:
y - y0 = mnormal(x - x0)
Substituindo os valores:
y - raiz3 = raiz3(x - 1)

Passo 9

Simplificando a equação da reta normal:
y - raiz3 = raiz3x - raiz3 y = raiz3x

Resposta

A equação da reta tangente à curva x^2 + y^2 = 4 no ponto P0(1, raiz3) é:
y = -raiz33x + 4raiz33
E a equação da reta normal é:
y = raiz3x

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