Para cada item abaixo, considere a superfície definida pela equação em 3 variáveis. Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado. Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente. Dica: associe uma função de 3 variáveis com a superfície considerando a superfície dada como uma superfície de nível desta função.
b) Superfície x^2+y^2+z=9, ponto P0(1,2,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida pela equação x^2 + y^2 + z = 9 e um ponto específico P0(1,2,4) nessa superfície. O que a gente precisa fazer é encontrar a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a superfície dada a uma função de três variáveis. A equação da superfície x^2 + y^2 + z = 9 pode ser reescrita como uma superfície de nível da função:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z
E a superfície é onde f(x, y, z) = 9 .

Passo 3

O próximo passo é calcular o gradiente da função f . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície de nível. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de f em relação a cada variável:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas:
partial fpartial x = 2x
partial fpartial y = 2y
partial fpartial z = 1
Então, o gradiente é:
nabla f = (2x, 2y, 1)

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P0(1,2,4) :
nabla f(1, 2, 4) = (2 cdot 1, 2 cdot 2, 1) = (2, 4, 1)
Esse vetor será o vetor normal ao plano tangente na superfície no ponto P0 .

Passo 6

Com o vetor normal e o ponto P0 , podemos escrever a equação do plano tangente. A equação geral de um plano com vetor normal (A, B, C) que passa pelo ponto (x0, y0, z0) é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Substituindo os valores que temos:
2(x - 1) + 4(y - 2) + 1(z - 4) = 0

Passo 7

Vamos simplificar essa equação:
2x - 2 + 4y - 8 + z - 4 = 0
2x + 4y + z - 14 = 0
Então, a equação do plano tangente é:
2x + 4y + z = 14

Passo 8

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto
Onde é o parâmetro.

Passo 9

Substituindo os valores:
x = 1 + 2t y = 2 + 4t z = 4 + t
Essa é a equação paramétrica da reta normal.

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto
E a equação paramétrica da reta normal é:
Onde (t] é um parâmetro real.

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