Para cada item abaixo, considere a superfície definida pela equação em 3 variáveis. Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado. Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente. Dica: associe uma função de 3 variáveis com a superfície considerando a superfície dada como uma superfície de nível desta função.
b) Superfície
ponto
.
b) Superfície
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida pela equação
e um ponto específico
nessa superfície. O que a gente precisa fazer é encontrar a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície nesse ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos associar a superfície dada a uma função de três variáveis. A equação da superfície
pode ser reescrita como uma superfície de nível da função:
E a superfície é onde
.
Passo 3
O próximo passo é calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é perpendicular à superfície de nível. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor será o vetor normal ao plano tangente na superfície no ponto
.
Passo 6
Com o vetor normal e o ponto
, podemos escrever a equação do plano tangente. A equação geral de um plano com vetor normal
que passa pelo ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto
Onde é o parâmetro.
Passo 9
Substituindo os valores:
Essa é a equação paramétrica da reta normal.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
E a equação paramétrica da reta normal é:
Onde (t] é um parâmetro real.