Um corpo se desloca em uma linha reta com aceleração constante a. Por uma questão de simplicidade suponha que a reta onde acontece a cinemática seja o eixo
. Se no tempo
o corpo está na origem com velocidade
é a velocidade no tempo
e
é a posição depois de um tempo
, utilize EDOs para deduzir as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de um corpo que se desloca em linha reta com uma aceleração constante
. Estamos no eixo
e, no tempo
, o corpo está na origem com uma velocidade inicial
. Queremos descobrir como a velocidade
varia com o tempo usando Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs).
Matéria envolvida: Cinemática do movimento retilíneo com aceleração constante.
O que vamos precisar: Entender como a aceleração se relaciona com a velocidade através de derivadas e integrais em EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que aceleração (
) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado pela derivada da velocidade em função do tempo:
Passo 3
Como a aceleração é constante, podemos escrever a equação diferencial assim:
Isso significa que a mudança na velocidade por unidade de tempo é igual a
.
Passo 4
Para encontrar a expressão para
, vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Passo 5
A integral do lado esquerdo simplifica para
, e a integral do lado direito é
(já que
é constante):
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 6
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial fornecida pelo enunciado. No tempo
, a velocidade é
:
Passo 7
Substituindo o valor de
na equação da velocidade, temos:
Resposta
A velocidade do corpo no tempo
é dada por: