Um corpo se desloca em uma linha reta com aceleração constante a. Por uma questão de simplicidade suponha que a reta onde acontece a cinemática seja o eixo X. Se no tempo t=0 o corpo está na origem com velocidade v0, v(t) é a velocidade no tempo t e x(t) é a posição depois de um tempo t, utilize EDOs para deduzir as seguintes identidades:
v(t)=v0+a t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de um corpo que se desloca em linha reta com uma aceleração constante a . Estamos no eixo X e, no tempo t = 0 , o corpo está na origem com uma velocidade inicial v0 . Queremos descobrir como a velocidade v(t) varia com o tempo usando Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs).
Matéria envolvida: Cinemática do movimento retilíneo com aceleração constante.
O que vamos precisar: Entender como a aceleração se relaciona com a velocidade através de derivadas e integrais em EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração ( a ) é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado pela derivada da velocidade em função do tempo:
a = dvdt

Passo 3

Como a aceleração é constante, podemos escrever a equação diferencial assim:
dvdt = a
Isso significa que a mudança na velocidade por unidade de tempo é igual a a .

Passo 4

Para encontrar a expressão para v(t) , vamos integrar ambos os lados da equação em relação ao tempo t :
integral dvdt , dt = integral a , dt

Passo 5

A integral do lado esquerdo simplifica para v(t) , e a integral do lado direito é a t (já que a é constante):
v(t) = a t + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar a constante C , usamos a condição inicial fornecida pelo enunciado. No tempo t = 0 , a velocidade é v0 :
v(0) = a cdot 0 + C = v0 implies C = v0

Passo 7

Substituindo o valor de C na equação da velocidade, temos:
v(t) = v0 + a t

Resposta

A velocidade do corpo no tempo t é dada por:
v(t) = v0 + a t

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