Use integrais duplas para encontrar a área da região dada:
b) Uma folha da rosáscea r=a cos (2 theta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a área de uma folha da rosácea dada pela equação polar r = a cos(2theta) . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla para calcular áreas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, um elemento de área dA é dado por dA = r , dr , dtheta . Isso porque em coordenadas polares, a área é calculada levando em conta o raio r e o ângulo theta .

Passo 3

A função dada é r = a cos(2theta) , que descreve uma rosa com duas pétalas. Para encontrar a área de uma dessas pétalas, precisamos determinar os limites de integração para theta . Vamos encontrar os valores de theta onde r = 0 :
a cos(2theta) = 0 implies cos(2theta) = 0 implies 2theta = pi2, 3pi2 implies theta = pi4, 3pi4
Então, uma pétala está entre theta = -pi4 e theta = pi4 .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla para a área A da pétala:
A = integraltheta=-pi4^pi4 integralr=0^a cos(2theta) r , dr , dtheta
Aqui, r varia de 0 até a cos(2theta) e theta varia de -pi4 a pi4 .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r :
integral0^a cos(2theta) r , dr = r^22 |0^a cos(2theta) = (a cos(2theta))^22 = a^2 cos^2(2theta)2

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A = integral-pi4^pi4 a^2 cos^2(2theta)2 , dtheta = a^22 integral-pi4^pi4 cos^2(2theta) , dtheta

Passo 7

Para resolver integral cos^2(2theta) , dtheta , usamos a identidade trigonométrica:
cos^2(x) = 1 + cos(2x)2
Aplicando isso:
cos^2(2theta) = 1 + cos(4theta)2
Então, a integral fica:
a^22 integral-pi4^pi4 1 + cos(4theta)2 , dtheta = a^24 integral-pi4^pi4 (1 + cos(4theta)) , dtheta

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (1 + cos(4theta)) , dtheta = theta + sin(4theta)4
Avaliado de -pi4 a pi4 :
[ theta + sin(4theta)4 ]-pi4^pi4 = ( pi4 + sin(pi)4 ) - ( -pi4 + sin(-pi)4 ) = pi4 - (-pi4) = pi2

Passo 9

Substituindo de volta na expressão para A :
A = a^24 cdot pi2 = a^2 pi8

Resposta

A área da folha da rosácea é a^2 pi8 .

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