Use integrais duplas para encontrar a área da região dada:
b) Uma folha da rosáscea .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a área de uma folha da rosácea dada pela equação polar . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla para calcular áreas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, um elemento de área é dado por . Isso porque em coordenadas polares, a área é calculada levando em conta o raio e o ângulo .
Passo 3
A função dada é , que descreve uma rosa com duas pétalas. Para encontrar a área de uma dessas pétalas, precisamos determinar os limites de integração para . Vamos encontrar os valores de onde :
Então, uma pétala está entre e .
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla para a área da pétala:
Aqui, varia de 0 até e varia de a .
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: