Para cada item abaixo, considere a função composta
e calcule sua derivada df/dt usando a regra da cadeia.
b)
,
.
b)
Passo 1
Olha só, a gente tem uma função composta
onde
,
e
. A gente vai usar a Regra da Cadeia para achar a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como a Regra da Cadeia funciona. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, então a derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que a gente vai derivar
em relação a
e
separadamente e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Isso porque derivar
em relação a
dá
e derivar
em relação a
dá
.
Passo 4
Agora, precisamos derivar
e
em relação a
:
Isso vem das derivadas padrão de seno e cosseno.
Passo 5
Vamos substituir tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos
e
pelas expressões dadas:
Passo 7
Vamos expandir as multiplicações:
Passo 8
Simplificando cada termo:
Passo 9
Perceba que alguns termos se cancelam:
Passo 10
Agora, somamos os termos:
Resposta
A derivada
é igual a zero.