Para cada item abaixo, considere a função composta f(t)=f(x(t), y(t)) e calcule sua derivada df/dt usando a regra da cadeia.
b) f(x, y)=x^2+y^2, x(t)=cos (t)+sen(t), y(t)=cos (t)-sen(t).

Passo 1

Olha só, a gente tem uma função composta f(t) = f(x(t), y(t)) onde f(x, y) = x^2 + y^2 , x(t) = cos(t) + sen(t) e y(t) = cos(t) - sen(t) . A gente vai usar a Regra da Cadeia para achar a derivada de f em relação a t .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como a Regra da Cadeia funciona. Se f depende de x e y , que por sua vez dependem de t , então a derivada de f em relação a t é dada por:
dfdt = partial fpartial x cdot dxdt + partial fpartial y cdot dydt
Isso significa que a gente vai derivar f em relação a x e y separadamente e depois multiplicar pelas derivadas de x e y em relação a t .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f :
partial fpartial x = 2x e partial fpartial y = 2y
Isso porque derivar x^2 em relação a x 2x e derivar y^2 em relação a y 2y .

Passo 4

Agora, precisamos derivar x(t) e y(t) em relação a t :
dxdt = -sen(t) + cos(t) e dydt = -sen(t) - cos(t)
Isso vem das derivadas padrão de seno e cosseno.

Passo 5

Vamos substituir tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
dfdt = 2x cdot (-sen(t) + cos(t)) + 2y cdot (-sen(t) - cos(t))

Passo 6

Agora, substituímos x(t) e y(t) pelas expressões dadas:
dfdt = 2(cos(t) + sen(t)) cdot (-sen(t) + cos(t)) + 2(cos(t) - sen(t)) cdot (-sen(t) - cos(t))

Passo 7

Vamos expandir as multiplicações:
dfdt = 2[cos(t)(-sen(t)) + cos(t)cos(t) + sen(t)(-sen(t)) + sen(t)cos(t)] + 2[cos(t)(-sen(t)) + cos(t)(-cos(t)) - sen(t)(-sen(t)) - sen(t)cos(t)]

Passo 8

Simplificando cada termo:
dfdt = 2[-cos(t)sen(t) + cos^2(t) - sen^2(t) + sen(t)cos(t)] + 2[-cos(t)sen(t) - cos^2(t) + sen^2(t) - sen(t)cos(t)]

Passo 9

Perceba que alguns termos se cancelam:
dfdt = 2[cos^2(t) - sen^2(t)] + 2[-cos^2(t) + sen^2(t)]

Passo 10

Agora, somamos os termos:
dfdt = 2cos^2(t) - 2sen^2(t) - 2cos^2(t) + 2sen^2(t) = 0

Resposta

A derivada dfdt é igual a zero.

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