Seja Gamma(x)=integral0^+infty t^x-1 e^-t d t; esta função é chamada função gama. Verifique:
Se n in N então Gamma(n+1)=n !.

Passo 1

O enunciado define a função gama por
Gamma(x)=integral0^+inftyt^x-1e^-t,dt
e pede para verificar que, para todo ninN,
Gamma(n+1)=n!
Para isso vamos usar a técnica de integração por partes para obter a relação funcional
Gamma(x+1)=x,Gamma(x)
e em seguida aplicar essa relação para x=n+1.

Passo 2

Vamos derivar a relação funcional. Considere
Gamma(x+1)=integral0^+inftyt^xe^-t,dt
Fazendo integração por partes, escolha
u=t^x, dv=e^-t,dt
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du=x,t^x-1,dt, v=-e^-t
Então
Gamma(x+1) =l[-,t^xe^-tr]0^infty + xintegral0^inftyt^x-1e^-t,dt
O termo de fronteira vale zero em 0 e em +infty, pois t^x e^-tto0. Logo
Gamma(x+1)=xintegral0^inftyt^x-1e^-t,dt =x,Gamma(x)

Passo 3

Agora calculamos o caso base. Para x=1 temos
Gamma(1)=integral0^inftyt^0e^-t,dt =integral0^inftye^-t,dt =l[-e^-tr]0^infty=1

Passo 4

Para ninN, aplicamos repetidamente
Gamma(x+1)=x,Gamma(x)
começando em x=1. Em particular,
Gamma(n+1) =n,Gamma(n) =n,(n-1),Gamma(n-1) =cdots =n,(n-1)cdots1;Gamma(1) =n!

Resposta

Gamma(n+1)=n!

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