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Data de entregue: 26/01/2025
Observações: No máximo quatro perguntas desta lista (talvez com pequenas mudanças) serão escolhidas para fazer parte da quarta avaliação que será aplicada no 27/01/2025.
As equações de Maxwell relacionam o campo elétrico E e o campo magnético B, quando eles variam com o tempo em uma região que não contenha carga nem corrente, como segue:
ll nabla cdot E=0 & nabla cdot B=0 nabla times E=-1c partial Bpartial t & nabla times B=1c partial Epartial t
onde c é a velocidade da luz. Use essas equações para demonstrar o seguinte:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta as Equações de Maxwell em uma região sem carga nem corrente elétrica. Nosso objetivo aqui é usar essas equações para demonstrar como os campos elétrico ( E) e magnético ( B) se comportam, provavelmente mostrando que eles se propagam como ondas eletromagnéticas viajando na velocidade da luz c. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como divergente, rotacional e a identidade do rotacional do rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na equação que relaciona o rotacional do campo elétrico com a variação do campo magnético no tempo:
nabla times E = -1c partial Bpartial t
Nosso plano é aplicar o operador rotacional ( nabla times) novamente em ambos os lados dessa equação. Isso nos ajudará a ligar o campo elétrico à sua própria variação no tempo.

Passo 3

Aplicando o rotacional nos dois lados, temos:
nabla times (nabla times E) = nabla times (-1c partial Bpartial t)
Simplificando o lado direito:
nabla times (nabla times E) = -1c partialpartial t (nabla times B)

Passo 4

Agora, vamos usar outra das Equações de Maxwell que relaciona o rotacional do campo magnético com a variação do campo elétrico:
nabla times B = 1c partial Epartial t
Substituindo isso na equação anterior:
nabla times (nabla times E) = -1c partialpartial t ( 1c partial Epartial t ) = -1c^2 partial^2 Epartial t^2

Passo 5

Agora, vamos lembrar de uma identidade vetorial importante:
nabla times (nabla times E) = nabla (nabla cdot E) - nabla^2 E
Mas, segundo as Equações de Maxwell no enunciado, o divergente de E é zero:
nabla cdot E = 0
Então a identidade simplifica para:
nabla times (nabla times E) = -nabla^2 E

Passo 6

Substituindo de volta na nossa equação anterior:
-nabla^2 E = -1c^2 partial^2 Epartial t^2
Podemos simplificar ambos os lados multiplicando por -1:
nabla^2 E = 1c^2 partial^2 Epartial t^2

Passo 7

Essa é a famosa equação de onda para o campo elétrico! Ela mostra que as variações no campo elétrico se propagam no espaço como ondas com velocidade c. Podemos fazer um procedimento similar para o campo magnético B e obter uma equação de onda análoga para ele.

Resposta

Demonstramos que os campos elétrico e magnético satisfazem a equação de onda:
nabla^2 E = 1c^2 partial^2 Epartial t^2
Isso mostra que as variações dos campos elétrico e magnético se propagam como ondas eletromagnéticas viajando na velocidade da luz c.

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