Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem
. Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
No nosso caso:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica a resolução, pois podemos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Vamos resolver as integrais do lado direito separadamente.
Primeiro,
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes:
Escolhemos:
Aplicando:
Segundo,
.
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, isolamos
dividindo todos os termos por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: