Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
y^prime(x)+3 y(x)=x+e^-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem y^prime(x) + 3y(x) = x + e^-2x . Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Ela está na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem:
y' + P(x)y = Q(x)
Aqui, P(x) = 3 e Q(x) = x + e^-2x .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( mu(x) ), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
No nosso caso:
mu(x) = e^integral 3 dx = e^3x

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^3x y' + 3e^3x y = e^3xx + e^3xe^-2x
Simplificando o lado direito:
e^3xe^-2x = e^x
Então, a equação fica:
e^3x y' + 3e^3x y = e^3xx + e^x

Passo 5

Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto e^3xy . Ou seja:
ddx(e^3x y) = e^3xx + e^x
Isso simplifica a resolução, pois podemos integrar ambos os lados em relação a x :
integral ddx(e^3x y) dx = integral (e^3xx + e^x) dx

Passo 6

Vamos resolver as integrais do lado direito separadamente.
Primeiro, integral e^3xx dx . Para isso, usamos a técnica de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^3x dx Rightarrow v = 13 e^3x
Aplicando:
integral e^3xx dx = 13x e^3x - 13 integral e^3x dx = 13x e^3x - 19 e^3x + C
Segundo, integral e^x dx = e^x + C .

Passo 7

Juntando tudo, temos:
e^3x y = 13x e^3x - 19 e^3x + e^x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 8

Finalmente, isolamos y dividindo todos os termos por e^3x :
y(x) = 13x - 19 + e^-2x + C e^-3x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 13x - 19 + e^-2x + C e^-3x

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