Considere a função f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+12 n+1.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série sumn=0^+infty(-1)^n x^2 n+12 n+1.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
f(x)=sumn=0^+infty(-1)^nx^2n+12n+1
e pede sua soma por integração termo a termo. O que vamos usar é que, dentro do raio de convergência, podemos integrar séries de potências termo a termo e trocar soma por integral.

Passo 2

Note que a série derivada de f(x) é
sumn=0^+infty(-1)^nx^2n,
que é uma série geométrica alternada de primeiro termo 1 e razão -x^2. Para |x|<1 vale
sumn=0^+infty(-1)^nx^2n=11+x^2

Passo 3

Integrando de 0 a x, dentro de |x|<1, obtemos
sumn=0^+infty(-1)^nx^2n+12n+1 =sumn=0^+infty(-1)^nintegral0^xt^2n,dt =integral0^xsumn=0^+infty(-1)^nt^2n,dt =integral0^x11+t^2,dt

Passo 4

Pelo teorema fundamental do cálculo,
integral0^x11+t^2,dt=arctan(x)-arctan(0)=arctan(x)
Logo, para |x|<1,
sumn=0^+infty(-1)^nx^2n+12n+1=arctan(x)

Resposta

arctan(x)

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