Considere a função
.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série
.
(b) Integre termo a termo a série do item (a) para calcular a soma da série
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede sua soma por integração termo a termo. O que vamos usar é que, dentro do raio de convergência, podemos integrar séries de potências termo a termo e trocar soma por integral.
Passo 2
Note que a série derivada de
é
que é uma série geométrica alternada de primeiro termo
e razão
. Para
vale
Passo 3
Integrando de
a
, dentro de
, obtemos
Passo 4
Pelo teorema fundamental do cálculo,
Logo, para
,