Em cada item abaixo, considere a operação binária star sobre A e verifique se eles apresentam comutatividade e associatividade.
A=R e x star y=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto A=R e a operação binária
xstar y = x^2 + y^2
Precisamos verificar se star é comutativa (isto é, se vale sempre xstar y = ystar x) e se é associativa (isto é, se vale sempre (xstar y)star z = xstar(ystar z)).

Passo 2

Para comutatividade, calculemos xstar y e ystar x:
xstar y = x^2 + y^2, ystar x = y^2 + x^2
Como a soma de reais é comutativa, temos
x^2 + y^2 = y^2 + x^2,
logo xstar y = ystar x para todo x,y. Portanto, star é comutativa.

Passo 3

Para associatividade, comparemos (xstar y)star z com xstar(ystar z):
(xstar y)star z = l(x^2+y^2r)^2 + z^2,
xstar(ystar z) = x^2 + l(y^2+z^2r)^2
Em geral
l(x^2+y^2r)^2 + z^2 ;neq; x^2 + l(y^2+z^2r)^2,
por exemplo, para x=1, y=2, z=3:
(1^2+2^2)^2+3^2 = (1+4)^2+9 = 25+9 = 34,
1^2+(2^2+3^2)^2 = 1+(4+9)^2 = 1+169 = 170,
e 34neq170. Assim, star não é associativa.

Resposta

A operação star é comutativa, mas não é associativa.

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