O grupo G=-1,1 é abeliano? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto G=-1,1 com a operação de multiplicação é um grupo abeliano. Vamos usar conceitos de teoria de grupos e, em particular, a definição de grupo abeliano para resolver.

Passo 2

Por definição, um grupo (G,ast) é abeliano se, para todos a,bin G,
a ast b = b ast a
Aqui ast é a multiplicação usual de números reais restrita a G.

Passo 3

Como a multiplicação em R é comutativa, temos para quaisquer a,bin G:
acdot b = bcdot a
Em particular,
(-1)cdot 1 = -1 = 1cdot(-1),
(-1)cdot(-1) = 1 = 1cdot 1
Logo todo par de elementos de G comuta.

Resposta

Sim, G é abeliano.

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