Mostre que a multiplicação de matrizes
sobre o conjunto dos números reais é associativa, mas não comutativa.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a operação de multiplicação em
é associativa, ou seja, vale
para quaisquer matrizes
em
, e que essa operação não é comutativa, ou seja, em geral
Para isso, vamos usar a definição de produto de matrizes e trabalhar com índices.
Passo 2
Definimos três matrizes genéricas em
:
Pela definição, os coeficientes de
são
Passo 3
Vamos calcular os coeficientes de
:
Passo 4
Agora calculamos os coeficientes de
:
Como em somas finitas a ordem dos somatórios não importa, os dois resultados coincidem para todo
. Portanto,
mostrando a associatividade.
Passo 5
Para ver que a multiplicação não é comutativa, basta um contra-exemplo. Tomemos
Calculamos
Como
, a multiplicação de matrizes
não é comutativa.]
Resposta
A multiplicação de matrizes
em
é associativa, mas não é comutativa.