Mostre que a multiplicação de matrizes 2 times 2 sobre o conjunto dos números reais é associativa, mas não comutativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a operação de multiplicação em M2(R) é associativa, ou seja, vale
(AB)C = A(BC)
para quaisquer matrizes A,B,C em M2(R), e que essa operação não é comutativa, ou seja, em geral
AB neq BA
Para isso, vamos usar a definição de produto de matrizes e trabalhar com índices.

Passo 2

Definimos três matrizes genéricas em M2(R):
A = a11 & a12[6pt]a21 & a22, B = b11 & b12[6pt]b21 & b22, C = c11 & c12[6pt]c21 & c22
Pela definição, os coeficientes de AB são
(AB)ij ;=;sumk=1^2aik,bkj ]

Passo 3

Vamos calcular os coeficientes de (AB)C:
l((AB)Cr)ij = sumell=1^2(AB)iell,cell j = sumell=1^2l(sumk=1^2aikbkellr)cell j = sumk=1^2sumell=1^2aik,bkell,cell j

Passo 4

Agora calculamos os coeficientes de A(BC):
l(A(BC)r)ij = sumk=1^2aik,(BC)kj = sumk=1^2aikl(sumell=1^2bkellcell jr) = sumk=1^2sumell=1^2aik,bkell,cell j
Como em somas finitas a ordem dos somatórios não importa, os dois resultados coincidem para todo i,j. Portanto,
(AB)C = A(BC),
mostrando a associatividade.

Passo 5

Para ver que a multiplicação não é comutativa, basta um contra-exemplo. Tomemos
A = 1 & 00 & 0, B = 0 & 10 & 0
Calculamos
AB = 1cdot0+0cdot0 & 1cdot1+0cdot0[4pt]0 & 0 = 0 & 10 & 0,
BA = 0cdot1+1cdot0 & 0cdot0+1cdot0[4pt]0 & 0 = 0 & 00 & 0
Como AB neq BA, a multiplicação de matrizes 2times2 não é comutativa.]

Resposta

A multiplicação de matrizes 2times2 em R é associativa, mas não é comutativa.

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