Seja
. Mostre que
é um grupo munido da operação usual de multiplicação de números reais.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação de multiplicação usual de números reais.
Queremos mostrar que é um grupo, ou seja, satisfaz os seguintes axiomas:
Queremos mostrar que
- Fechamento: se
, então . - Associatividade: para todo
, . - Elemento neutro: existe
tal que para todo . - Inversos: para cada
existe tal que .
Passo 2
(Fechamento) Tomemos
. Como
, as quatro possíveis multiplicações são
Em todos os casos o resultado está em
, logo há fechamento.
Passo 3
(Associatividade) A multiplicação de números reais é associativa em
. Como
, valem as mesmas regras, ou seja, para quaisquer
,
Passo 4
(Elemento neutro) O número
satisfaz
para todo
. Como
, este é o elemento unidade do grupo.
Passo 5
(Inversos)
- Se
, então porque . - Se
, então porque .
Em ambos os casose .