Seja G=-1,1. Mostre que G é um grupo munido da operação usual de multiplicação de números reais.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
G = -1,1
com a operação de multiplicação usual de números reais.
Queremos mostrar que (G,times) é um grupo, ou seja, satisfaz os seguintes axiomas:
  1. Fechamento: se a,bin G, então atimes bin G.
  2. Associatividade: para todo a,b,cin G, (atimes b)times c = atimes(btimes c).
  3. Elemento neutro: existe ein G tal que etimes a = atimes e = a para todo ain G.
  4. Inversos: para cada ain G existe a^-1in G tal que atimes a^-1 = a^-1times a = e.

Passo 2

(Fechamento) Tomemos a,bin G. Como G=-1,1, as quatro possíveis multiplicações são
1times 1 = 1, 1times(-1) = -1, (-1)times 1 = -1, (-1)times(-1)=1
Em todos os casos o resultado está em -1,1=G, logo há fechamento.

Passo 3

(Associatividade) A multiplicação de números reais é associativa em R. Como GsubsetR, valem as mesmas regras, ou seja, para quaisquer a,b,cin G,
(atimes b)times c = atimes(btimes c)

Passo 4

(Elemento neutro) O número 1 satisfaz
1times a = atimes 1 = a
para todo ain G. Como 1in G, este é o elemento unidade do grupo.

Passo 5

(Inversos)
  • Se a=1, então a^-1=1 porque 1times1=1.
  • Se a=-1, então a^-1=-1 porque (-1)times(-1)=1.
    Em ambos os casos a^-1in G e atimes a^-1=1.

Resposta

(G,times) satisfaz fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos, logo é um grupo.

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